10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理-2024年高考数学一轮复习《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（新高考专用）

10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 思维导图 知识点总结 1．分类加法计数原理 完成一件事有两类不同的方案．在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法． 2．分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． 两个计数原理的区别与联系 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 用来计算完成一件事的方法种数 不同点 分类、相加 分步、相乘 每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事 每步依次完成才算完成这件事(每步中的每一种方法不能独立完成这件事) 注意点 类类独立，不重不漏 步步相依，缺一不可 典型例题分析 考向一 　分类加法原理 【例1】　(1)我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的共有(　　) A．18个 B．15个 C．12个 D．9个 答案　B 解析　依题意知，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4,0,0组成的有3个，分别为400,040,004；由3,1,0组成的有6个，分别为310,301,130,103,013,031；由2,2,0组成的有3个，分别为220,202,022；由2,1,1组成的有3个，分别为211,121,112，共3＋6＋3＋3＝15(个)． (2)甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A，B，C三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人．其中甲必须去A社区，乙不去B社区，则不同的安排方法种数为(　　) A．8 B．7 C．6 D．5 答案　B 解析　根据题意，分两种情况讨论：①乙和甲一起去A社区，此时将丙、丁二人安排到B，C社区即可，有A＝2种情况；②乙不去A社区，则乙必须去C社区，若丙、丁都去B社区，有1种情况，若丙、丁中有1人去B社区，则先在丙、丁中选出1人，安排到B社区，剩下1人安排到A或C社区，有2×2＝4种情况，则不同的安排方法种数为2＋1＋4＝7.故选B. 【变式】现有2门不同的考试要安排在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数为________. 答案　12 解析　若第一门安排在第一天或第五天，则第二门有3种安排方法，这时，共有2×3＝6种方法；若第一门安排在中间的3天中，则第二门有2种安排方法，这时，共有3×2＝6种方法．综上可得，不同的考试安排方案共有6＋6＝12种． 使用分类加法计数原理时应注意的三个方面 (1)各类方法之间相互独立，每种方法都能完成这件事，且方法总数是各类方法数相加得到的． (2)分类时，首先要在问题的条件之下确定一个分类标准，然后在确定的分类标准下进行分类． (3)完成这件事的任何一种方法必属于某一类，且分别属于不同类的方法都是不同的． 考向二 分步乘法原理 【例2】如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(　　) A．24 B．18 C．12 D．9 答案　B 解析　分两步，第一步，从E→F，有6条可以选择的最短路径；第二步，从F→G，有3条可以选择的最短路径．由分步乘法计数原理可知有6×3＝18条可以选择的最短路径．故选B. 【变式1】某体育彩票规定：从01至36共36个号中选出7个号为一注，每注2元．某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，若这个人把满足这种特殊要求的号买全，要花(　　) A．3360元 B．6720元 C．4320元 D．8640元 答案　D 解析　从01至10中选3个连续的号共有8种选法；从11至20中选2个连续的号共有9种选法；从21至30中选1个号有10种选法；从31至36中选1个号有6种选法．由分步乘法计数原理，知共有8×9×10×6＝4320种选法，要花4320×2＝8640元．故选D. 【变式2】现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值班，共有5个人，每个人都可以值多天或不值班，但相邻两天不能同一个人值班，则此值班表共有________种不同的排法． 答案　1280 解析　完成一件事是安排值班表，因而需一天一天地排，用分步乘法计数原理，分步进行：第一天有5种不同排法，第二天不能与第一天已排的人相同，所以有4种不同排法，依次类推，第三、四、五天都有4种不同排法，所以共有5×4×4×4×4＝1280种不同的排法． 利用分步乘法计数原理解题的策略 (1)明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需