专题10.11 离散型随机变量及其分布列、数字特征（举一反三复习讲义）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

专题10.11 离散型随机变量及其分布列、数字特征（举一反三复习讲义） 【全国通用】 考点要求 (1)理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念 (2)理解并会求离散型随机变量的数字特征 高考真题统计 考点 2024年 2025年 2026年 离散型随机变量及其分布列、数字特征 新课标I卷：第14题，5分 新课标Ⅱ卷：第18题，17分 全国一卷：第14题，5分 全国一卷：第8题，5分 全国一卷：第17题，15分 命题规律分析 1、离散型随机变量及其分布列、数字特征 离散型随机变量及其分布列、数字特征是高考的重点、热点内容，从近三年的高考情况来看，本节内容的考查频率、难度、题型都比较稳定，主要考查离散型随机变量的分布列、期望与方差等，主要以选择题、填空题和解答题的形式考查，在选择、填空题中考查离散型随机变量的期望与方差，难度不大；在解答题中往往会与概率、统计、独立性检验等内容结合考查，难度中等，复习时需要加强这方面的练习，需要灵活求解。 考点1 离散型随机变量及其分布列、数字特征 知识点1 离散型随机变量及其分布列 1．随机变量与离散型随机变量 (1)随机变量 ①定义：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量. ②表示：通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值. 2．离散型随机变量的分布列 (1)定义 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列. (2)分布列的表格表示 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 分布列也可以用等式形式表示为P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n，还可以用图形表示. (3)离散型随机变量分布列具有的两个性质 ①pi≥0，i=1，2，…，n； ②p1+p2+…+pn=1. 3．离散型随机变量分布列的性质的应用 (1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值. (2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率. (3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确. 4．离散型随机变量分布列的求解步骤 第一步，明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义； 第二步，求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率； 第三步，画表格：按规范要求形式写出分布列； 第四步，做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确. 知识点2 离散型随机变量的数字特征 1．离散型随机变量的均值 (1)定义 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示： X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E(X)=x1 p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为离散型随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望，它反映了随机变量取值的平均水平. (2)对均值(期望)的理解 求离散型随机变量的期望应注意： ①期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均. ②E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而E(X)是不变的，它描述X取值的平均状态. ③均值与随机变量有相同的单位. 2．离散型随机变量的方差、标准差 (1)定义 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为. (2)意义 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中，方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 3．均值与方差的性质 (1)均值的性质 若离散型随机变量X的均值为E(X)，Y=aX+b，其中a,b为常数，则Y也是一个离散型随机变量，且E(Y)= E(aX+b)=aE(X)+b. 特别地，当a=0时，E(b)=b； 当a=1时，E(X+b)=E(X)+b； 当b=0时，E(aX)=aE(X). (2)方差的有关性质 当a，b均为常数时，随机变量Y=aX+b的方差D(Y)=D(aX+b)=a2D(X). 特别地，当a=0时，D(b)=0；当a=1时，D(X+b)=D(X)； 当b=0时，D(aX)=a2D(X). 4．求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤 (1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值. (2)求ξ取每个值的概率. (3)写出ξ的分布列. (4)由均值的定义求E(ξ). (5)由方差的定义求D(ξ). 【方法技巧与总结】 1．E(k)=k，D(k)=0，其中k为常数. 2．E(X1+X2)=E(X1)+E(X2). 3．D(X)=E(X2)-(E(X))2. 4．若X1，X2相互独立，则E(X1X2)=E(X1)·E(X2). 【题型1 离散型随机变量分布列】 【例1】（2026·辽宁抚顺·一模）将3个标号不同的红球和2个标号不同的白球排成一排. (1)求2个白球均不排在两端的所有排法种数； (2)记为2个白球之间红球的个数，求的分布列. 【答案】(1)36 (2) 0 1 2 3 P 【解题思路】（1）根据分步乘法计数原理，先选好白球位置，剩下的给红球；（2）先确定所有可能取值，再计算相应的概率. 【解答过程】（1）先从中间的3个空位中选出2个空位排2个白球，再把3个红球全排放入剩下的3个空位，共（种）， 所以2个白球均不排在两端的所有排法种数为36. （2）由题意知的所有可能取值为0，1，2，3， 则 所以的分布列为 0 1 2 3 P 【变式1-1】（2026·宁夏银川·三模）某学校开展了数学竞赛考试，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值和样本成绩的中位数； (2)已知学校用分层抽样的方法，从，两组内抽取了7份试卷作为优秀试卷，并从对应的学生中随机选取3人进行采访，设接受采访的学生中成绩在内的有人，求的分布列． 【答案】(1)，中位数为75 (2) 0 1 2 【解题思路】（1）通过矩形面积和为1，可求，由中位数的计算公式即可求解； （2）确定的可能取值，求得对应概率，即可求解. 【解答过程】（1）每组小矩形的面积之和为1，， 成绩落在内的频率为， 成绩落在内的频率为， 中位数落在内， 设中位数为，则，解得，即中位数为75． （2）由分层抽样可知， 成绩在的人数为人，成绩在的人数为2人， 故的可能取值为0，1，2， ， 0 1 2 【变式1-2】（2026·宁夏银川·二模）一批产品需要进行质量检验，检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验;如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验;其他情况下，这批产品都不能通过检验． 假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立 (1)求这批产品通过检验的概率; (2)已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元)，求X的分布列． 【答案】(1) (2)分布列： 400 500 800 【解题思路】（1）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件，第一次取出的4件产品全是优质品为事件，第二次取出的4件产品全是优质品为事件，第二次取出的1件产品是优质品为事件，这批产品通过检验为事件 ，依题意有，且与互斥，由概率得加法公式和条件概率，代入数据计算可得； （2）可能的取值为400，500，800，分别求其概率，可得分布列． 【解答过程】（1）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件，第一次取出的4件产品全是优质品为事件， 第二次取出的4件产品全是优质品为事件，第二次取出的1件产品是优质品为事件， 这批产品通过检验为事件 ，依题意有，且与互斥， 所以 ； （2）可能的取值为400，500，800，并且，， ，故的分布列如下： 400 500 800 【变式1-3】（2026·广西·模拟预测）2025年多哈世界乒乓球锦标赛，中国队组合王楚钦､孙颖莎以战胜日本队组合吉村真晴､大藤沙月，连续第三次夺得世乒赛混双冠军.假设2026年的一次乒乓球比赛中，S组合与组合相遇.每局比赛必须决出胜负，已知每局比赛组合获胜的概率为，每局比赛胜负结果相互独立，规定先达到净胜3局者获得比赛胜利并结束比赛（规定：净胜局指的是一方比另一方多胜局）. (1)分别求恰好3局比赛结束时组合获得比赛胜利的概率，恰好5局比赛结束时组合获得比赛胜利的概率； (2)若规定比赛总局数达到7局时无论是否分出胜负都直接结束比赛，求结束比赛时双方对战的总局数的分布列； (3)若比赛局数不限，求组合获得比赛胜利的概率. 【答案】(1)， (2) 3 5 7 (3) 【解题思路】（1）根据独立事件的概率公式，分别求、即可得答案. （2）由题意可能的取值为3，5，7，分别求得各个概率，列出分布列即可. （3）设事件表示“比赛局数不限，D组合获得比赛胜利”，设比赛过程中，D组合与S组合累计所赢局数的差为，根据全概率公式，则有，计算可得构成了以为首项，的等比数列，结合累加法，计算即可得答案. 【解答过程】（1）由题意，每局比赛组合获胜的概率为，S组合获胜的概率为， 恰好3局结束，则组合连赢三局，所以， 恰好5局结束，则组合前3局中赢2局，输1局，且后2局均获胜， 所以； （2）由题意可能的取值为3，5，7， ； ； ； 分布列为 3 5 7 （3）设事件表示“比赛局数不限，D组合获得比赛胜利”. 设比赛过程中，D组合与S组合累计所赢局数的差为， 表示时最终D组合获得比赛胜利的概率，其中. 由题知，，，. 根据全概率公式，则有， 于是， 则构成了以为首项，的等比数列， 则， ， ， ， ， ； 累加得， ， 解得， 所以， 故若比赛局数不限，D组合获得比赛胜利的概率为. 【题型2 离散型随机变量分布列的性质】 【例2】（2026高三·全国·专题练习）已知随机变量X的分布列如下表所示，则（    ） X 1 2 3 4 P 0.1 m 0.3 0.2 A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据离散型随机变量分布列求概率即可. 【解答过程】由题得，则， 故． 故选：C. 【变式2-1】（2026高三·全国·专题练习）设离散型随机变量的分布列为下表，若随机变量，则（    ） 0 1 2 3 0.1 0.6 A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【答案】A 【解题思路】根据离散型随机变量取各个值的概率和为1求得，由求出结果． 【解答过程】由分布列的性质知，所以． 因为，所以． 故选：A． 【变式2-2】（25-26高二下·江西吉安·期末）已知随机变量的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】首先根据概率的性质求出的值，然后即可求出的值. 【解答过程】由题意得， 而由得， 化简得，解得，所以. 所以. 故选：B. 【变式2-3】（25-26高二下·江苏南京·期中）若随机变量的分布如下表： 1 2 3 P 0.2 0.1 2m 0.25 m 则的值为（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.55 D．0.85 【答案】B 【解题思路】根据分布列的性质求出参数，进而求出事件概率. 【解答过程】，解得； ， 故选：B. 【题型3 离散型随机变量的均值】 【例3】（2026·甘肃陇南·模拟预测）设随机变量的概率分布列如表所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】直接由期望公式计算求解即可. 【解答过程】由题意可得. 故选：B. 【变式3-1】（2026·浙江宁波·模拟预测）将2个小球随机地投入编号为1，2，3，4的4个盒子中（每个盒子容纳的小球个数没有限制），记1号盒子中小球的个数为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意可取0,1,2，分别计算出概率，再用期望公式计算即可. 【解答过程】根据题意可取0,1,2， ，，， 所以， 故选：A. 【变式3-2】（2026·福建漳州·模拟预测）已知甲袋中有大小质地完全相同的3个红球和2个黑球，乙袋中有大小质地完全相同的2个红球和3个黑球，现从甲、乙两袋中等可能选取一个袋子，并从中不放回地依次随机摸出两个球，记X为这两个球中红球的个数. (1)求X的分布列和数学期望； (2)已知第一次摸到的球是红球，求第二次摸到的球也是红球的概率. 【答案】(1)的分布列为： X 0 1 2 P (2) 【解题思路】（1）根据题意求出随机变量X的所有取值，利用古典概型概率计算公式依次求出取每个值的概率即可，再利用数学期望的计算公式求解. （2）本题属于条件概率，分别求出第一次摸到的球是红球的概率，第一次摸到的球是红球并且第二次摸到的球也是红球的概率，利用条件概率计算公式即可求解. 【解答过程】（1）X的所有取值为0,1,2. . . . 所以X的分布列如下： X 0 1 2 P 数学期望. （2）设事件“第一次摸到的球是红球”,事件“第二次摸到的球是红球”. . 所以. 所以已知第一次摸到的球是红球，第二次摸到的球也是红球的概率为. 【变式3-3】（2026·湖南永州·一模）盒中装有标有数字1，2，3，4的卡片各2张，从盒中任意抽取3张，每张卡片被取出的可能性都相等，记为抽取出的3张卡片上的最小数字． (1)求抽取出的3张卡片中有2张卡片上的数字是1的概率． (2)求随机变量的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2) 1 2 3 数学期望为 【解题思路】（1）根据古典概率公式，以及组合数的计算公式，求出结果即可； （2）根据题意，每次抽取出的最小数字卡牌有一张和两张两种可能，再根据分类加法计数原理，以及古典概率公式，求出分布列即可，再根据数学期望的概念，求出结果即可. 【解答过程】（1）可知共有八张卡片，则抽取出的3张卡片中有2张卡片上的数字是1的概率为. （2）随机变量的可能取值有， 当时，有1张和2张数字1，两种情况，则， 同理， ， 随机变量的分布列为： 1 2 3 数学期望为. 【题型4 离散型随机变量的方差】 【例4】（2026·陕西西安·模拟预测）已知某随机变量的分布列如图表，则随机变量X的方差（    ） A．120 B．160 C．200 D．260 【答案】C 【解题思路】根据概率和为，求得，再根据分布列求，再求即可. 【解答过程】由题可知：，解得，则； 故. 故选：C. 【变式4-1】（2026·广东茂名·二模）设，，随机变量的分布列如表所示，则下列说法正确的是（     ） 1 A．当增大时，增大，增大 B．当增大时，增大，先增大后减小 C．当增大时，减小，增大 D．当增大时，减小，先减小后增大 【答案】B 【解题思路】由分布列性质建立的关系式，推导期望的一次函数单调性，利用方差简化公式推导方差的二次函数，结合二次函数单调性分析方差变化规律. 【解答过程】由离散型随机变量分布列的性质得，可得， 结合，得. ， 代入，得， 因此，为关于的一次增函数，当增大时，增大. ， 代入、，得， 展开得， ， ， 是开口向下的二次函数，对称轴为，且， 因此，时单调递增，时单调递减，即增大时，先增大后减小. 故选：B. 【变式4-2】（2026·四川成都·一模）以“‘智’在必得”为主题的人工智能知识挑战赛预赛由6道正误判断题组成，每位选手从中随机抽取3道，若能全部回答正确，则通过预赛.已知选手甲会做其中的4道题. (1)设表示选手甲抽到会做题目的道数，求随机变量的分布列和方差； (2)假设选手甲会做的题全部答对；不会做的题随机判断，答对的概率为.若各题作答结果互不影响，求他通过预赛的概率. 【答案】(1)的分布列为 1 2 3 ， (2) 【解题思路】（1）先确定的可能取值，然后针对不同的取值求出对应的概率，进而可列出的分布列，从而求得期望和方差.. （2）根据条件概率和全概率公式可求得他通过预赛的概率. 【解答过程】（1）根据题意. ； ； . 所以的分布列为 1 2 3 故随机变量的期望. 所以的方差. （2）设事件“选手甲抽到道会做的题目，”，事件“选手甲通过预赛”， 则，，，两两互斥，. 由（1）知，.又. 所以. 同理，. . 由全概率公式得，选手甲通过预赛的概率. 【变式4-3】（2026·北京顺义·二模）在某城市青年电影节公益短片展播环节中，预计展播部反诈宣传短片与部文明出行宣传短片，每部短片仅展播一次且播放次序随机.所有短片的时长均固定为分钟，相邻短片播放无时间间隔. (1)求第部播放的短片是文明出行宣传短片的概率； (2)记随机变量为从展播开始，到最后一部反诈宣传短片播放完成所用的总时间（单位：分钟），求的分布列与数学期望； (3)设随机变量为从展播开始，到文明出行宣传短片播放完成所用的总时间.记的方差为，（2）中的方差为.比较方差与大小（结论不要求证明）. 【答案】(1) (2)的分布列为： ； (3) 【解题思路】（1）利用古典概型求概率. （2）利用古典概型求离散型随机变量的分布列与期望. （3）利用古典概型求离散型随机变量的方差. 【解答过程】（1）因为第部播放的短片共有种情况，且每部短片随机展播一次， 所以播放的短片是文明出行宣传短片的概率为. （2）最后一部反诈宣传短片可能在第部或第部播放完成， 所以可取值为. 则；. 可得的分布列为： 所以. （3）文明出行宣传短片可能在第部、第部、第部播放完成， 所以可取值为. 则；；. 所以， 则. 而，所以. 【题型5 均值与方差的性质】 【例5】（25-26高三上·广东·阶段检测）已知随机变量的分布列如下表所示： 若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用分布列的性质结合给定概率求出，再求出，进而利用方差的性质计算即得. 【解答过程】由，得，， 则，， 由，得，所以. 故选：C. 【变式5-1】（25-26高二下·新疆乌鲁木齐·期末）已知ξ的分布列如图所示， 设， 则（    ） ξ 1 2 3 4 m A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先利用概率之和等于1求出的值，再由数学期望公式求出，最后根据数学期望的性质求得即可. 【解答过程】由题意，，解得， 则， 故. 故选：B. 【变式5-2】（2026高三·全国·专题练习）已知随机变量X满足，，下列说法正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解题思路】根据方差和期望的运算性质计算即可. 【解答过程】由，解得， 由，解得. 故选：D. 【变式5-3】（2026·全国·模拟预测）已知随机变量的分布列如下表，则下列方差值最大的是（    ） 0 1 A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由已知可得，即可根据方差公式分别计算求解. 【解答过程】由分布列的性质得，得， 可得， ， 则，， ，. 综上，的值最大. 故选：B. 【题型6 决策问题】 【例6】（25-26高二下·山东青岛·阶段检测）在某项体育比赛中，从第2局开始，选手每次对局获胜的概率受到前一局的影响．现甲、乙两位运动员对局，第一局甲胜的概率为；若前一局甲负，则下一局甲胜的概率是；若前一局甲胜，则下一局甲胜的概率为．比赛没有平局． (1)求甲在第3局中获胜的概率； (2)现设置300万元奖金，若甲在前3局中已经胜了2局，如果停止比赛，那么甲拿走奖金的，如果再继续比赛一局，第4局甲获胜，甲拿走奖金的，第4局甲失败，甲拿走奖金的，请问甲将如何决策，以期拿走更多的奖金． 【答案】(1) (2)选择停止比赛，拿到奖金的期望更高 【解题思路】（1）由相互独立事件、互斥事件的概率计算可得答案； （2）计算出停止比赛甲拿到奖金的期望、再继续比赛一局甲拿到奖金的期望可得答案. 【解答过程】（1）站在甲的角度，甲在第3局中获胜包含4种情况：胜胜胜，胜负胜，负胜胜，负负胜， 所以甲在第3局中获胜的概率 ； （2）方案一：停止比赛，甲拿到奖金的期望为（万元）． 方案二；设甲在前3局中已经胜了2局的情况下第4局获胜的事件为， 前三局的情况有： 胜胜负，概率； 胜负胜，概率； 负胜胜，概率．     再继续比赛，第4局甲获胜的概率 ， 第4局甲失败的概率， 所以甲拿到奖金的期望（万元）． 因为，所以选择停止比赛，拿到奖金的期望更高． 【变式6-1】（2026·江西上饶·模拟预测）甲乙两家公司要进行公开招聘，招聘分为笔试和面试，通过笔试后才能进入面试环节．已知甲、乙两家公司的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若小明报考甲公司，每门科目通过的概率均为；报考乙公司，每门科目通过的概率依次为，，其中． (1)若，分别求出小明报考甲、乙两公司在笔试环节恰好通过一门科目的概率； (2)招聘规则要求每人只能报考一家公司，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作决策，当小明更希望通过乙公司的笔试时，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）利用独立事件同时发生的概率公式即可求得小明报考甲、乙两公司在笔试环节恰好通过一门科目的概率； （2）分别求得小明报考甲、乙两公司通过科目数的数学期望，列出关于的不等式，进而求得的取值范围． 【解答过程】（1）设小明报考甲公司恰好通过一门笔试科目为事件A， 小明报考乙公司恰好通过一门笔试科目为事件， 根据题意可得，      . （2）设小明报考甲公司通过的科目数为X，报考乙公司通过的科目数为， 根据题意可知，，则， ， ， ， ， 则随机变量的分布列为 Y 0 1 2 3 P ， 若，则， 故，即的取值范围是. 【变式6-2】（25-26高三上·北京通州·期中）某蔬菜批发商分别在甲､乙两个市场销售某种蔬菜（两个市场的销售互不影响），已知该蔬菜每售出1吨获利500元，末售出的蔬菜降价处理，每吨亏损100元．现分别统计该蔬菜在甲､乙两个市场以往100个周期的市场需求量，制成频数分布条形图如下： 以市场需求量的频率代替需求量的概率．设批发商在下个销售周期购进吨该蔬菜，在甲､乙两个市场同时销售，以（单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总需求量，（单位：元）表示下个销售周期两个市场的销售总利润． (1)求变量概率分布列； (2)当时，求与的函数解析式，并估计销售利润不少于8900元的概率； (3)以销售利润的期望作为决策的依据，判断与应选用哪一个． 【答案】(1)的分布列如下表： 16 17 18 19 20 0.06 0.23 0.35 0.27 0.09 (2)， (3)应选 【解题思路】（1）先求出随机变量的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列即可； （2）根据题意，结合已知数据和（1）中的分布列，求解即可； （3）根据题意，分别列出和的分布列，由数学期望的计算公式分别求出相应的期望值，比较即可得到答案． 【解答过程】（1）设甲市场需求量为的概率为，乙市场需求量为的概率为，则由题意得 ， ， 设两个市场总需求量为的概率为，则由题意得所有可能的取值为 且， 所以的分布列如下表： 16 17 18 19 20 0.06 0.23 0.35 0.27 0.09 （2）由题意得，当时，， 当时，． 所以 设“销售利润不少于8900元”，则 当时，， 当时，，解得． 由（1）中的分布列可知，． （3）由（1）知，． 当时，的分布列为： 0.06 0.94 所以； 当时，的分布列为： 0.06 0.23 0.71 所以， 因为，所以应选． 【变式6-3】（25-26高二下·北京通州·期末）某农产品经销商计划分别在甲、乙两个市场销售某种农产品（两个市场的销售互不影响），为了了解该种农产品的销售情况，现分别调查了该农产品在甲、乙两个市场过去10个销售周期内的销售情况，得下表： 销售量 销售周期个数 市场 3吨 4吨 5吨 甲 3 4 3 乙 2 5 3 (1)从过去10个销售周期中随机抽取一个销售周期，求甲市场销售量为4吨的概率； (2)以市场销售量的频率代替销售量的概率．设（单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总销售量，求随机变量概率分布列； (3)在（2）的条件下，设该经销商计划在下个销售周期购进吨该产品，在甲、乙两个市场同时销售，已知该产品每售出1吨获利1000元，未售出的产品降价处理，每吨亏损200元．以销售利润的期望作为决策的依据，判断与应选用哪一个． 【答案】(1)0.4； (2) 的分布列如下表： 6 7 8 9 10 0.06 0.23 0.35 0.27 0.09 (3)应选. 【解题思路】（1）利用古典概率求得结果. （2）求出的可能及各个值对应的概率，列出分布列. （3）分别求出与时销售利润的期望，再比较大小即得结果. 【解答过程】（1）设甲市场销售量为4吨的事件为A， 则. （2）设甲市场销售量为吨的概率为，乙市场销售量为吨的概率为， 则由题意得，，； ，，， 设两个市场总需求量为的概率为，所有可能的取值为6，7，8，9，10， ， ， ， ， ， 所以的分布列如下表： 6 7 8 9 10 0.06 0.23 0.35 0.27 0.09 （3）由（2）知，，， 当时，销售利润，当时，，当时，， 因此的分布列为： 0.06 则元； 当时，，，， 销售利润，当时，， 当时，，当时，， 因此的分布列为： 0.06 0.71 则元； 因为，所以应选. 一、单选题 1．（2026·甘肃金昌·二模）已知随机变量的分布列如下： X 1 2 3 0.4 则数学期望（    ） A．0.8 B．1.4 C． D．2 【答案】D 【解题思路】根据概率之和为1得到方程，求出，利用期望公式得到答案. 【解答过程】由题意，，所以， 所以. 故选：D. 2．（2026·重庆·模拟预测）已知一组数据，，…，的方差为3，则数据，，…，的方差为（   ） A．3 B．7 C．12 D．13 【答案】C 【解题思路】根据方差的性质计算求解. 【解答过程】因为一组数据，，…，的方差为， 则数据，，…，的方差为. 故选：C. 3．（2026·湖北宜昌·二模）已知随机变量X，Y均服从两点分布，若，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】列举法即可求解. 【解答过程】因为随机变量X，Y均服从两点分布，且，， 所以，， 所以， 又因为，所以， 所以. 故选：A. 4．（2026·江西景德镇·模拟预测）甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得一分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满4局时停止，设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负互相独立，则比赛停止时已打局数的期望为（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【解题思路】由题意利用离散型随机变量求出，再由期望公式计算可得. 【解答过程】的可能取值为2，4， ， 所以. 故选：C. 5．（2026·云南玉溪·模拟预测）设，随机变量的分布列如下表， 0 1 2 则当在区间内增大时，（    ） A．减小 B．增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【答案】D 【解题思路】方法一：计算出，利用公式得到，得到先增大后减小， 方法二：设随机变量，得到的分布列，计算出，得到先增大后减小. 【解答过程】方法一：因为， 所以 ， 因为，，所以先增大后减小， 方法二：设随机变量，则的分布列为 －1 0 1 所以， 所以， 得到先增大后减小. 故选：D. 6．（2026·江苏盐城·三模）设正数，随机变量的分布列，若随机变量的期望为1，则最小值为（    ） 0 A．1 B． C．4 D．2 【答案】D 【解题思路】根据离散型随机变量分布列的性质求出的值，再利用期望公式得到与的关系，然后换元，将所求式子进行变形，结合与的关系，运用基本不等式求出其最小值. 【解答过程】根据离散型随机变量分布列的性质：所有概率之和为，即.解得. 已知随机变量的期望为，可得. 化简可得：，进一步变形为. 设，则， 将进行变形， 给式子乘以得到. 展开式子： 根据基本不等式，有. 所以，当且仅当，即时等号成立. 故选：D. 7．（2026·广东·模拟预测）一个盒子里有3个相同的球，分别标有数字2，3，4，若每次不放回地从盒子中随机取出一个球，直到取出的所有球的数字之积大于或等于8为止.记此时取出的所有球的数字之和为，则（    ） A． B．7 C． D．6 【答案】A 【解题思路】先求的分布列，再求的期望. 【解答过程】由题意，的值可以为：6,7,9 表示取出的两个球上的数字为2,4，相当于将三个球排序，2,4排在前两位，所以； 表示取出的两个球上的数字为3,4，相当于将三个球排序，3,4排在前两位，所以； 表示三个球全部取出，相当于将三个球排序，2，3排在前两位，所以. 所以的分布列为： 6 7 9 所以. 故选：A. 8．（2026·陕西·三模）某大型超市为了解顾客的购物习惯，对近期进入超市的1000名顾客进行了随机调查．调查发现，有600名顾客在进入超市前已经决定好了要购买的商品（称为“计划型顾客”），其余400名顾客则没有特定的购买计划（称为“随机型顾客”）．根据以往的销售数据，“计划型顾客”在超市的平均消费金额为200元，而“随机型顾客”中，有的人平均消费金额为100元，另外的人平均消费金额为300元．若从该超市近期进入的顾客中随机抽取1名，则这名顾客的平均消费金额不低于200元的概率，以及该顾客的平均消费金额的估计值分别为（    ）． A．概率为0.72，平均消费金额为210元 B．概率为0.88，平均消费金额为216元 C．概率为0.88，平均消费金额为240元 D．概率为0.82，平均消费金额为230元 【答案】B 【解题思路】设出事件，设顾客的平均消费金额为，的可能取值为，由条件概率和全概率公式得到相应的概率，得到期望值. 【解答过程】设事件表示“抽取的顾客为计划型顾客”， 事件表示“抽取的顾客的平均消费金额不低于200元”， 事件表示“抽取的顾客为随机型顾客”； ，由于计划型顾客的平均消费金额已经为200元，所以； 随机抽取1名顾客，消费不低于200元的概率是： ， 设顾客的平均消费金额为，则的可能取值为， 则；； ， 期望为：. 故选：B. 二、多选题 9．（2026·广东江门·模拟预测）甲参加游戏获得的积分的分布列为 4 5 6 7 8 0.1 0.3 0.3 且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解题思路】由，求出，再依次判断选项即可． 【解答过程】依题意得，， ， 则，A项正确， ，故B项正确； ，故C项错误； ，故D项正确． 故选：ABD. 10．（2026·山东青岛·模拟预测）某游戏推出两种抽奖活动和，玩家可以通过参与活动获得游戏币，从而换取稀有道具.活动和活动的抽奖收益，（单位：千个）及其概率分布如下表所示，则下列选项正确的是（   ） 活动的收益分布： 3 7 11 0.4 0.3 活动的收益分布： 0 8 18 0.6 0.1 A． B． C．两个活动的收益期望一样多 D．活动的收益风险低于活动 【答案】AC 【解题思路】根据分布列的性质求出、，再根据期望、方差公式计算可得. 【解答过程】依题意可得，所以，， 则，故A正确； 所以， ，则，故C正确； 而，故B错误； 因为， ， 即，所以活动的收益风险高于活动，故D错误. 故选：AC. 11．（2026·云南·模拟预测）某项团队建设活动，每场活动固定进行两轮，每轮结束后可得4分或7分.任意一场活动，第一轮得4分或7分的概率均为；在同一场活动中，若第一轮得4分，则第二轮得4分的概率为，得7分的概率为；若第一轮得7分，则第二轮得4分的概率为，得7分的概率为.若一场活动结束总分超过10分，称该场活动为“成功场次”.已知各场活动的结果相互独立，则下列选项正确的是（ ） A．一场活动结束总分为8分的概率为 B．一场活动结束总分为11分的概率为 C．已知该场活动为“成功场次”的条件下，该场活动结束总分为11分的概率为 D．若连续5场活动中“成功场次”的次数为，则的数学期望 【答案】ACD 【解题思路】利用独立事件概率的计算公式，即若事件、相互独立，则，和条件概率公式，以及对于二项分布，其期望，逐项分析即可. 【解答过程】记事件表示第轮活动得4分，事件表示第轮活动得7分，其中， 所以，，，，. 记事件表示一场活动结束总分为8分，记事件表示一场活动结束总分为11分， 记事件表示一场活动为“成功场次”. 选项A，，故A正确； 选项B， ，故B错误； 选项C， ， 所以，所以，故C正确； 选项D，由于各场活动的结果相互独立，则， 所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）设随机变量 的概率分布为 ，为常数，，则 __________. 【答案】 【解题思路】由离散型随机变量所有可能取值的概率之和为，建立关于的方程并求解即可. 【解答过程】由，， 可得： 所以，即 解得. 13．（2026·广东·模拟预测）掷一枚质地不均匀的骰子，记向上面的点数为X，若，则的最小值为__________． 【答案】/ 【解题思路】根据概率的性质和期望的定义分析求解. 【解答过程】设，则，且， 由，得， 因为， 当且仅当时，等号成立， ，即， 此时，， ，合题意， 所以的最小值为. 故答案为：. 14．（2026·湖南永州·模拟预测）已知集合，甲､乙两人分别从的所有子集中随机抽取一个集合，两人的抽取结果相互独立，设为两人取到的集合中相同元素的个数，则的数学期望__________. 【答案】 【解题思路】设甲､乙两人抽取的子集分别为，法一：确定的所有可能取值，分析对应概率，即可得分布列，进而求期望；法二：对于中的每个元素，定义，从而得到，结合求期望. 【解答过程】方法一：的所有可能取值为，设甲､乙两人抽取的子集分别为， 因为的子集一共有个，故所有的抽取结果有种， 要得到，先从5个元素中选个公共元素，有种方式， 对于剩余的个元素，每个元素有3种状态： （1）仅在中；（2）仅在中；（3）既不在中，也不在中，故共有种方式， 所以，的分布列为： 0 1 2 3 4 5 所以. 方法二：设甲､乙两人抽取的子集分别为. 对于中的每个元素，定义，则，所以， 对每个有一半子集中含有，另一半子集不含，即， 所以，所以，故. 故答案为：. 四、解答题 15．（2026·陕西西安·模拟预测）一个不透明的袋子中装有大小形状完全相同的6个小球，其中3个黑球、3个白球.现从袋中随机逐个抽取小球，若每次取出的是黑球，则放回袋子中，否则不放回，直至3个白球全部取出． (1)求在第2次取出的小球为黑球的条件下，第1次取出的小球为白球的概率； (2)记抽取3次取出白球的数量为，求随机变量的分布列和期望． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）记事件“第2次取出的小球为黑球”，事件“第1次取出的小球为白球”，求出，进而利用条件概率公式计算求解； （2）分析的所有可能取值，求出相应概率，进而求出分布列和期望． 【解答过程】（1）记事件“第2次取出的小球为黑球”，事件“第1次取出的小球为白球”， 则，， 所以． （2）由题意，的所有可能取值为，，，，则 ， ， ， ， 所以随机变量的分布列为： 期望为：． 16．（2026·广西百色·一模）已知甲、乙两名队员定点投篮的命中率分别为，，且每人每次投篮命中与否相互独立． (1)若甲、乙各进行1次定点投篮，求两人至少有一人投篮命中的概率； (2)若甲进行1次定点投篮，乙进行2次定点投篮，记两人投篮命中次数之和为，求的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)的分布列如下： 0 1 2 3 【解题思路】（1）方法一：利用独立事件的概率公式求解即可； 方法二：利用对立事件的概率公式求解即可； （2）由题意可得的可能取值为0，1，2，3，求出对应的概率，列出分布列，由期望公式求解即可. 【解答过程】（1）记“甲、乙各进行1次定点投篮，两人至少有一人投篮命中”为事件． （方法一）． （方法二：间接法）． （2）的可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ． 故的分布列如下： 0 1 2 3 . 17．（2026·浙江·模拟预测）某项考试按理论考试、实操考试两科目依次进行，只有当理论考试成绩合格时，才可继续实操考试．已知每科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书．现某人参加这项考试，每次理论考试成绩合格的概率均为，每次实操考试成绩合格的概率均为．假设各次考试成绩合格与否均互不影响． (1)求他可获得证书的概率； (2)在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求的分布列和数学期望． 【答案】(1)； (2)随机变量的分布列为 2 3 4 ． 【解题思路】（1）理论考试和实操考试各有两次机会，分别求出至少一次合格的概率，两者相乘即得获得证书的概率； （2）分析的所有可能取值，逐一列举每种取值对应的所有考试结果组合，利用独立性和互斥性计算概率，最后求期望． 【解答过程】（1）设理论考试合格为事件，实操考试合格为事件， 理论考试有两次机会，至少一次合格的概率为：， 实操考试有两次机会，至少一次合格的概率为：， 因为只有理论合格后才能参加实操，所以获得证书的概率为： （2）设“第一次理论考试合格”为事件，“理论考试补考合格”为事件； “第一次实操考试合格”为事件，“实操考试补考合格”为事件； 由已知得，， 注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得 ， ， ， 所以，随机变量的分布列为 2 3 4 参加考试次数的期望值． 18．（2026·湖南长沙·模拟预测）将标有号码1，2，，8的八张卡片随机分成四组，每组两张，各种分组方式等可能．记两张卡片号码之和为9的组数为． (1)求不同分组方式的总数，并求； (2)求随机变量的分布列； (3)分组完成后，从四组中等可能地随机选取一组．已知所选组中两张卡片的号码之和为9，求在此条件下的分布列． 【答案】(1)105种； ． (2) 0 1 2 4 (3) 1 2 4 【解题思路】（1）分析可知四个“和为9”的配对为，，，．根据分步乘法计数原理求不同分组方式的总数，且时分组方式唯一，根据古典概型求； （2）分析可知只能取0，1，2，4．根据古典概型分别取，，进而可得和分布列； （3）分析可知，结合条件概率求分布列. 【解答过程】（1）记四个“和为9”的配对为，，，． 先给号码1选同组卡片，有7种； 再给尚未分组的最小号码选同组卡片，依次有5，3，1种， 因此不同分组方式共有种； 又因为时分组方式唯一，故 ． （2）若已有三组和为9，剩余两张的和也为9，即不能取3， 所以只能取0，1，2，4． 当时，先从四个特殊配对中选出两个，余下四张有3种配法， 其中原来的两对会使，其余2种交叉配对均不再产生和为9的组， 故方式数为，可得； 当时，先选出唯一一组和为9的配对，有4种， 以选出为例，余下三组特殊配对为，，，卡片2不能与7配对，只能从3，6，4，5中选择搭档，共4种， 选定后，剩余四张卡片中还保留着一组完整的特殊配对；为了不产生新的和为9的组，卡片7必须与这组中的一张配对，有2种，最后两张的配法随之确定， 因此，固定唯一一组后有种配法， 故的方式数为，所以； 则； 所以随机变量的分布列为 0 1 2 4 （3）记事件为“选中的一组号码之和为9”， 由于分组和选组的过程对任意两张卡片完全对称，最终选中的一组等可能为个二元组之一；其中有4个和为9，故． 当时，四组中恰有组满足条件，所以． 由条件概率公式可得：，，． 所以在此条件下的分布列 1 2 4 19．（2026·湖南邵阳·模拟预测）设集合，从集合的所有非空子集中任意选择一个集合，即且，记集合B中的最小元素和最大元素分别为随机变量X，Y． (1)当时，求事件“且”的概率； (2)求随机变量Y的分布列； (3)在的条件下，求X的数学期望． 【答案】(1) (2)，其中，2，3，…， (3) 【解题思路】（1）集合B共有15个，并用列举法得到事件“且”的概率； （2）求出Y的可能取值和对应的概率，得到分布列； （3）求出，当，，2，3，…，时，，结合错位相减法求和，得到数学期望 【解答过程】（1）当时，非空子集B共有个，符合题意的子集只有，两个， 所以． （2）由题意得：Y的所有可能取值为1，2，3，…，，非空子集B共有个． 当时，集合B中必须包含元素k，不含大于k的元素，符合题意的子集B共有个， 故，其中，2，3，…，n． （3）当时，集合B中必须包含元素n，符合题意的子集B共有个． 当时，； 当，，2，3，…，时，； 因此，记， 即，① ，② ①-②得：， 整理得：． 即． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.11 离散型随机变量及其分布列、数字特征（举一反三复习讲义） 【全国通用】 考点要求 (1)理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念 (2)理解并会求离散型随机变量的数字特征 高考真题统计 考点 2024年 2025年 2026年 离散型随机变量及其分布列、数字特征 新课标I卷：第14题，5分 新课标Ⅱ卷：第18题，17分 全国一卷：第14题，5分 全国一卷：第8题，5分 全国一卷：第17题，15分 命题规律分析 1、离散型随机变量及其分布列、数字特征 离散型随机变量及其分布列、数字特征是高考的重点、热点内容，从近三年的高考情况来看，本节内容的考查频率、难度、题型都比较稳定，主要考查离散型随机变量的分布列、期望与方差等，主要以选择题、填空题和解答题的形式考查，在选择、填空题中考查离散型随机变量的期望与方差，难度不大；在解答题中往往会与概率、统计、独立性检验等内容结合考查，难度中等，复习时需要加强这方面的练习，需要灵活求解。 考点1 离散型随机变量及其分布列、数字特征 知识点1 离散型随机变量及其分布列 1．随机变量与离散型随机变量 (1)随机变量 ①定义：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量. ②表示：通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值. 2．离散型随机变量的分布列 (1)定义 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列. (2)分布列的表格表示 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 分布列也可以用等式形式表示为P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n，还可以用图形表示. (3)离散型随机变量分布列具有的两个性质 ①pi≥0，i=1，2，…，n； ②p1+p2+…+pn=1. 3．离散型随机变量分布列的性质的应用 (1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值. (2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率. (3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确. 4．离散型随机变量分布列的求解步骤 第一步，明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义； 第二步，求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率； 第三步，画表格：按规范要求形式写出分布列； 第四步，做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确. 知识点2 离散型随机变量的数字特征 1．离散型随机变量的均值 (1)定义 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示： X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E(X)=x1 p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为离散型随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望，它反映了随机变量取值的平均水平. (2)对均值(期望)的理解 求离散型随机变量的期望应注意： ①期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均. ②E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而E(X)是不变的，它描述X取值的平均状态. ③均值与随机变量有相同的单位. 2．离散型随机变量的方差、标准差 (1)定义 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为. (2)意义 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中，方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 3．均值与方差的性质 (1)均值的性质 若离散型随机变量X的均值为E(X)，Y=aX+b，其中a,b为常数，则Y也是一个离散型随机变量，且E(Y)= E(aX+b)=aE(X)+b. 特别地，当a=0时，E(b)=b； 当a=1时，E(X+b)=E(X)+b； 当b=0时，E(aX)=aE(X). (2)方差的有关性质 当a，b均为常数时，随机变量Y=aX+b的方差D(Y)=D(aX+b)=a2D(X). 特别地，当a=0时，D(b)=0；当a=1时，D(X+b)=D(X)； 当b=0时，D(aX)=a2D(X). 4．求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤 (1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值. (2)求ξ取每个值的概率. (3)写出ξ的分布列. (4)由均值的定义求E(ξ). (5)由方差的定义求D(ξ). 【方法技巧与总结】 1．E(k)=k，D(k)=0，其中k为常数. 2．E(X1+X2)=E(X1)+E(X2). 3．D(X)=E(X2)-(E(X))2. 4．若X1，X2相互独立，则E(X1X2)=E(X1)·E(X2). 【题型1 离散型随机变量分布列】 【例1】（2026·辽宁抚顺·一模）将3个标号不同的红球和2个标号不同的白球排成一排. (1)求2个白球均不排在两端的所有排法种数； (2)记为2个白球之间红球的个数，求的分布列. 【变式1-1】（2026·宁夏银川·三模）某学校开展了数学竞赛考试，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值和样本成绩的中位数； (2)已知学校用分层抽样的方法，从，两组内抽取了7份试卷作为优秀试卷，并从对应的学生中随机选取3人进行采访，设接受采访的学生中成绩在内的有人，求的分布列． 【变式1-2】（2026·宁夏银川·二模）一批产品需要进行质量检验，检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验;如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验;其他情况下，这批产品都不能通过检验． 假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立 (1)求这批产品通过检验的概率; (2)已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元)，求X的分布列． 【变式1-3】（2026·广西·模拟预测）2025年多哈世界乒乓球锦标赛，中国队组合王楚钦､孙颖莎以战胜日本队组合吉村真晴､大藤沙月，连续第三次夺得世乒赛混双冠军.假设2026年的一次乒乓球比赛中，S组合与组合相遇.每局比赛必须决出胜负，已知每局比赛组合获胜的概率为，每局比赛胜负结果相互独立，规定先达到净胜3局者获得比赛胜利并结束比赛（规定：净胜局指的是一方比另一方多胜局）. (1)分别求恰好3局比赛结束时组合获得比赛胜利的概率，恰好5局比赛结束时组合获得比赛胜利的概率； (2)若规定比赛总局数达到7局时无论是否分出胜负都直接结束比赛，求结束比赛时双方对战的总局数的分布列； (3)若比赛局数不限，求组合获得比赛胜利的概率. 【题型2 离散型随机变量分布列的性质】 【例2】（2026高三·全国·专题练习）已知随机变量X的分布列如下表所示，则（    ） X 1 2 3 4 P 0.1 m 0.3 0.2 A． B． C． D． 【变式2-1】（2026高三·全国·专题练习）设离散型随机变量的分布列为下表，若随机变量，则（    ） 0 1 2 3 0.1 0.6 A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【变式2-2】（25-26高二下·江西吉安·期末）已知随机变量的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高二下·江苏南京·期中）若随机变量的分布如下表： 1 2 3 P 0.2 0.1 2m 0.25 m 则的值为（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.55 D．0.85 【题型3 离散型随机变量的均值】 【例3】（2026·甘肃陇南·模拟预测）设随机变量的概率分布列如表所示，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·浙江宁波·模拟预测）将2个小球随机地投入编号为1，2，3，4的4个盒子中（每个盒子容纳的小球个数没有限制），记1号盒子中小球的个数为，则（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·福建漳州·模拟预测）已知甲袋中有大小质地完全相同的3个红球和2个黑球，乙袋中有大小质地完全相同的2个红球和3个黑球，现从甲、乙两袋中等可能选取一个袋子，并从中不放回地依次随机摸出两个球，记X为这两个球中红球的个数. (1)求X的分布列和数学期望； (2)已知第一次摸到的球是红球，求第二次摸到的球也是红球的概率. 【变式3-3】（2026·湖南永州·一模）盒中装有标有数字1，2，3，4的卡片各2张，从盒中任意抽取3张，每张卡片被取出的可能性都相等，记为抽取出的3张卡片上的最小数字． (1)求抽取出的3张卡片中有2张卡片上的数字是1的概率． (2)求随机变量的分布列和数学期望． 【题型4 离散型随机变量的方差】 【例4】（2026·陕西西安·模拟预测）已知某随机变量的分布列如图表，则随机变量X的方差（    ） A．120 B．160 C．200 D．260 【变式4-1】（2026·广东茂名·二模）设，，随机变量的分布列如表所示，则下列说法正确的是（     ） 1 A．当增大时，增大，增大 B．当增大时，增大，先增大后减小 C．当增大时，减小，增大 D．当增大时，减小，先减小后增大 【变式4-2】（2026·四川成都·一模）以“‘智’在必得”为主题的人工智能知识挑战赛预赛由6道正误判断题组成，每位选手从中随机抽取3道，若能全部回答正确，则通过预赛.已知选手甲会做其中的4道题. (1)设表示选手甲抽到会做题目的道数，求随机变量的分布列和方差； (2)假设选手甲会做的题全部答对；不会做的题随机判断，答对的概率为.若各题作答结果互不影响，求他通过预赛的概率. 【变式4-3】（2026·北京顺义·二模）在某城市青年电影节公益短片展播环节中，预计展播部反诈宣传短片与部文明出行宣传短片，每部短片仅展播一次且播放次序随机.所有短片的时长均固定为分钟，相邻短片播放无时间间隔. (1)求第部播放的短片是文明出行宣传短片的概率； (2)记随机变量为从展播开始，到最后一部反诈宣传短片播放完成所用的总时间（单位：分钟），求的分布列与数学期望； (3)设随机变量为从展播开始，到文明出行宣传短片播放完成所用的总时间.记的方差为，（2）中的方差为.比较方差与大小（结论不要求证明）. 【题型5 均值与方差的性质】 【例5】（25-26高三上·广东·阶段检测）已知随机变量的分布列如下表所示： 若，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高二下·新疆乌鲁木齐·期末）已知ξ的分布列如图所示， 设， 则（    ） ξ 1 2 3 4 m A． B． C． D． 【变式5-2】（2026高三·全国·专题练习）已知随机变量X满足，，下列说法正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式5-3】（2026·全国·模拟预测）已知随机变量的分布列如下表，则下列方差值最大的是（    ） 0 1 A． B． C． D． 【题型6 决策问题】 【例6】（25-26高二下·山东青岛·阶段检测）在某项体育比赛中，从第2局开始，选手每次对局获胜的概率受到前一局的影响．现甲、乙两位运动员对局，第一局甲胜的概率为；若前一局甲负，则下一局甲胜的概率是；若前一局甲胜，则下一局甲胜的概率为．比赛没有平局． (1)求甲在第3局中获胜的概率； (2)现设置300万元奖金，若甲在前3局中已经胜了2局，如果停止比赛，那么甲拿走奖金的，如果再继续比赛一局，第4局甲获胜，甲拿走奖金的，第4局甲失败，甲拿走奖金的，请问甲将如何决策，以期拿走更多的奖金． 【变式6-1】（2026·江西上饶·模拟预测）甲乙两家公司要进行公开招聘，招聘分为笔试和面试，通过笔试后才能进入面试环节．已知甲、乙两家公司的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若小明报考甲公司，每门科目通过的概率均为；报考乙公司，每门科目通过的概率依次为，，其中． (1)若，分别求出小明报考甲、乙两公司在笔试环节恰好通过一门科目的概率； (2)招聘规则要求每人只能报考一家公司，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作决策，当小明更希望通过乙公司的笔试时，求的取值范围． 【变式6-2】（25-26高三上·北京通州·期中）某蔬菜批发商分别在甲､乙两个市场销售某种蔬菜（两个市场的销售互不影响），已知该蔬菜每售出1吨获利500元，末售出的蔬菜降价处理，每吨亏损100元．现分别统计该蔬菜在甲､乙两个市场以往100个周期的市场需求量，制成频数分布条形图如下： 以市场需求量的频率代替需求量的概率．设批发商在下个销售周期购进吨该蔬菜，在甲､乙两个市场同时销售，以（单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总需求量，（单位：元）表示下个销售周期两个市场的销售总利润． (1)求变量概率分布列； (2)当时，求与的函数解析式，并估计销售利润不少于8900元的概率； (3)以销售利润的期望作为决策的依据，判断与应选用哪一个． 【变式6-3】（25-26高二下·北京通州·期末）某农产品经销商计划分别在甲、乙两个市场销售某种农产品（两个市场的销售互不影响），为了了解该种农产品的销售情况，现分别调查了该农产品在甲、乙两个市场过去10个销售周期内的销售情况，得下表： 销售量 销售周期个数 市场 3吨 4吨 5吨 甲 3 4 3 乙 2 5 3 (1)从过去10个销售周期中随机抽取一个销售周期，求甲市场销售量为4吨的概率； (2)以市场销售量的频率代替销售量的概率．设（单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总销售量，求随机变量概率分布列； (3)在（2）的条件下，设该经销商计划在下个销售周期购进吨该产品，在甲、乙两个市场同时销售，已知该产品每售出1吨获利1000元，未售出的产品降价处理，每吨亏损200元．以销售利润的期望作为决策的依据，判断与应选用哪一个． 一、单选题 1．（2026·甘肃金昌·二模）已知随机变量的分布列如下： X 1 2 3 0.4 则数学期望（    ） A．0.8 B．1.4 C． D．2 2．（2026·重庆·模拟预测）已知一组数据，，…，的方差为3，则数据，，…，的方差为（   ） A．3 B．7 C．12 D．13 3．（2026·湖北宜昌·二模）已知随机变量X，Y均服从两点分布，若，，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·江西景德镇·模拟预测）甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得一分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满4局时停止，设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负互相独立，则比赛停止时已打局数的期望为（   ） A． B． C． D．3 5．（2026·云南玉溪·模拟预测）设，随机变量的分布列如下表， 0 1 2 则当在区间内增大时，（    ） A．减小 B．增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 6．（2026·江苏盐城·三模）设正数，随机变量的分布列，若随机变量的期望为1，则最小值为（    ） 0 A．1 B． C．4 D．2 7．（2026·广东·模拟预测）一个盒子里有3个相同的球，分别标有数字2，3，4，若每次不放回地从盒子中随机取出一个球，直到取出的所有球的数字之积大于或等于8为止.记此时取出的所有球的数字之和为，则（    ） A． B．7 C． D．6 8．（2026·陕西·三模）某大型超市为了解顾客的购物习惯，对近期进入超市的1000名顾客进行了随机调查．调查发现，有600名顾客在进入超市前已经决定好了要购买的商品（称为“计划型顾客”），其余400名顾客则没有特定的购买计划（称为“随机型顾客”）．根据以往的销售数据，“计划型顾客”在超市的平均消费金额为200元，而“随机型顾客”中，有的人平均消费金额为100元，另外的人平均消费金额为300元．若从该超市近期进入的顾客中随机抽取1名，则这名顾客的平均消费金额不低于200元的概率，以及该顾客的平均消费金额的估计值分别为（    ）． A．概率为0.72，平均消费金额为210元 B．概率为0.88，平均消费金额为216元 C．概率为0.88，平均消费金额为240元 D．概率为0.82，平均消费金额为230元 二、多选题 9．（2026·广东江门·模拟预测）甲参加游戏获得的积分的分布列为 4 5 6 7 8 0.1 0.3 0.3 且，则（　　） A． B． C． D． 10．（2026·山东青岛·模拟预测）某游戏推出两种抽奖活动和，玩家可以通过参与活动获得游戏币，从而换取稀有道具.活动和活动的抽奖收益，（单位：千个）及其概率分布如下表所示，则下列选项正确的是（   ） 活动的收益分布： 3 7 11 0.4 0.3 活动的收益分布： 0 8 18 0.6 0.1 A． B． C．两个活动的收益期望一样多 D．活动的收益风险低于活动 11．（2026·云南·模拟预测）某项团队建设活动，每场活动固定进行两轮，每轮结束后可得4分或7分.任意一场活动，第一轮得4分或7分的概率均为；在同一场活动中，若第一轮得4分，则第二轮得4分的概率为，得7分的概率为；若第一轮得7分，则第二轮得4分的概率为，得7分的概率为.若一场活动结束总分超过10分，称该场活动为“成功场次”.已知各场活动的结果相互独立，则下列选项正确的是（ ） A．一场活动结束总分为8分的概率为 B．一场活动结束总分为11分的概率为 C．已知该场活动为“成功场次”的条件下，该场活动结束总分为11分的概率为 D．若连续5场活动中“成功场次”的次数为，则的数学期望 三、填空题 12．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）设随机变量 的概率分布为 ，为常数，，则 __________. 13．（2026·广东·模拟预测）掷一枚质地不均匀的骰子，记向上面的点数为X，若，则的最小值为__________． 14．（2026·湖南永州·模拟预测）已知集合，甲､乙两人分别从的所有子集中随机抽取一个集合，两人的抽取结果相互独立，设为两人取到的集合中相同元素的个数，则的数学期望__________. 四、解答题 15．（2026·陕西西安·模拟预测）一个不透明的袋子中装有大小形状完全相同的6个小球，其中3个黑球、3个白球.现从袋中随机逐个抽取小球，若每次取出的是黑球，则放回袋子中，否则不放回，直至3个白球全部取出． (1)求在第2次取出的小球为黑球的条件下，第1次取出的小球为白球的概率； (2)记抽取3次取出白球的数量为，求随机变量的分布列和期望． 16．（2026·广西百色·一模）已知甲、乙两名队员定点投篮的命中率分别为，，且每人每次投篮命中与否相互独立． (1)若甲、乙各进行1次定点投篮，求两人至少有一人投篮命中的概率； (2)若甲进行1次定点投篮，乙进行2次定点投篮，记两人投篮命中次数之和为，求的分布列与数学期望． 17．（2026·浙江·模拟预测）某项考试按理论考试、实操考试两科目依次进行，只有当理论考试成绩合格时，才可继续实操考试．已知每科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书．现某人参加这项考试，每次理论考试成绩合格的概率均为，每次实操考试成绩合格的概率均为．假设各次考试成绩合格与否均互不影响． (1)求他可获得证书的概率； (2)在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求的分布列和数学期望． 18．（2026·湖南长沙·模拟预测）将标有号码1，2，，8的八张卡片随机分成四组，每组两张，各种分组方式等可能．记两张卡片号码之和为9的组数为． (1)求不同分组方式的总数，并求； (2)求随机变量的分布列； (3)分组完成后，从四组中等可能地随机选取一组．已知所选组中两张卡片的号码之和为9，求在此条件下的分布列． 19．（2026·湖南邵阳·模拟预测）设集合，从集合的所有非空子集中任意选择一个集合，即且，记集合B中的最小元素和最大元素分别为随机变量X，Y． (1)当时，求事件“且”的概率； (2)求随机变量Y的分布列； (3)在的条件下，求X的数学期望． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $