10.2 排列组合问题-2024年高考数学一轮复习《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（新高考专用）

10.2 排列组合问题 思维导图 知识点总结 1．排列与组合的概念 名称 定义 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 并按照_____排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 组合 _____，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 2.排列数与组合数 (1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有_____的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号_____表示． (2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的_____的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作 _____. 3．排列数、组合数的公式及性质 公式 (1)A＝_____＝__________； (2)C＝＝_____＝_____(n，m∈N*，且m≤n) 性质 (1)A＝_____；(2)0！＝_____；(3)C＝_____，C＝ _____； (4)C＋C＝_____ 解决排列与组合问题的“四项基本原则” (1)特殊优先原则：如果问题中有特殊元素或特殊位置，优先考虑这些特殊元素或特殊位置． (2)先取后排原则：在既有取出又需要对取出的元素进行排列时，要先取后排，即完整地把需要排列的元素取出后，再进行排列． (3)正难则反原则：当直接求解困难时，采用间接法解决问题． (4)先分组后分配原则：在分配问题中如果被分配的元素多于位置，这时要先进行分组，再进行分配． 典型例题分析 考向一 　排列与排列数问题 　 【例1】　有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数． (1)选其中5人排成一排； (2)排成前后两排，前排3人，后排4人； (3)全体排一排，甲不站排头也不站排尾； (4)全体排一排，女生必须站在一起； (5)全体排一排，男生互不相邻； (6)全体排一排，甲、乙两人中间恰好有3人； (7)全体排一排，甲必须排乙前面； (8)全体排一排，甲不排在最左端，乙不排在最右端． 求解有限制条件排列问题的主要方法 直接法 分类法 选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型，分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出总数 分步法 选定一个适当的标准，将事件分成几个步骤来完成，分别计算出各步骤的排列数，再由分步乘法计数原理得出总数 捆绑法 相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列后的空中 定序法 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以已定元素的全排列 间接法 对于分类过多的问题，一般利用正难则反、等价转化的方法 【变式】　1.用0,1,2,3,4,5这6个数字， (1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？ (2)能组成多少个奇数数字互不相邻的六位数(无重复数字)? 考向二 组合与组合数问题 【例2】　某课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各有一名队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)只有一名女生当选； (2)两队长当选； (3)至少有一名队长当选； (4)男生甲和女生乙当选； (5)最多有两名女生当选． 　　组合问题的常见类型及求解策略 (1)“含有”或“不含有”问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外的元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． (2)“至少”或“最多”问题：用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理． 【例3】圆周上有10个等分点，以这10个等分点的4个点为顶点构成四边形，其中梯形的个数为(　　) A．10 B．20 C．40 D．60 【变式】(多选)在某地实施的新高考改革方案中，选择性考试科目有物理、化学、生物、政治、历史、地理6门．学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是(　　) A．若任意选科，选法总数为C B．若化学必选，选法总数为CC C．若政治和地理至少选一门，选法总数为CCC D．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为CC＋1 考向三 排列组合综合问题 【例4】　按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方法？ (1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本； (2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本； (3)平均分成三份，每份2本； (4)平均分配给甲、乙、丙三人，