9.2 椭圆方程与性质-2024年高考数学一轮复习《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（新高考专用）

9.2 椭圆方程与性质 思维导图 知识点总结 内容提要 1.椭圆定义：设是平面上的两个定点，若平面内的点满足，则点的轨迹是以为焦点的椭圆. 2.椭圆的简单几何性质： 标准方程 焦点坐标 焦距 ，且 图形 范围 对称性 关于轴、轴、原点对称 顶点坐标 左、右顶点： 上、下顶点： 左、右顶点： 上、下顶点： 长轴长 ，其中叫做长半轴长 短轴长 ，其中叫做短半轴长 离心率 3.通径：经过椭圆焦点且垂直于长轴的弦叫做通径(如图中两条蓝色的线段)，其长度为. 典型例题分析 考向一 　椭圆定义与应用 【例1】椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则的大小为___________的周长为；若延长交椭圆于，则___________ 答案： 解析：椭圆中给出，可由定义求，由题意，， 因为，且，所以； 要求，可先求，在中由余弦定理推论求， 如图，， 所以，故 的周长为； 由椭圆的对称性，是中点，而也是的中点，所以四边形为平行四边形， 从而，故. 【变式】已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上的动点，则的最小值为___________ 答案：-2 解析：如图，在椭圆外，不易直接分析的最小值，可考虑用椭圆定义将换成来看，由题意，，所以，故(1)，由三角形两边之和大于第三边知，结合(1)得：(2)，当且仅当点位于图中处时取等号，椭圆的半焦距，所以，又，所以，代入(2)知，故的最小值为-2. [反思]涉及椭圆上的点到一个焦点的距离的最值问题，若不易直接求解，则可考虑用椭圆定义，转化到另一个焦点去分析. 考向二 椭圆的标准方程 【例2】以，为焦点，且经过点的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据焦点在x轴上，c=1，且过点，用排除法可得.也可待定系数法求解，或根据椭圆定义求2a可得. 【详解】因为焦点在x轴上，所以C不正确；又因为c=1，故排除D；将代入得，故A错误，所以选B. 故选：B 【变式】已知，B是圆C：上的任意一点，线段BF的垂直平分线交BC于点P.则动点P的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】结合线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等及椭圆定义得到正确答案． 【详解】解：圆，圆心为，半径为4， 因为线段的垂直平分线交于点，所以， 所以． 所以由椭圆定义知，的轨迹是以，为焦点的椭圆，方程为． 故答案为：． 考向三 椭圆的离心率问题 【例3】如图，A，分别是椭圆的左、右顶点，点在以为直径的圆上（点异于A，两点），线段与椭圆交于另一点，若直线的斜率是直线的斜率的4倍，则椭圆的离心率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆与圆的性质计算即可. 【详解】设，易知， 则，， 又， 所以. 故选：C 【变式1】若、为椭圆：的左、右焦点，焦距为4，点为上一点，若对任意的，均存在四个不同的点满足，则的离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用平面向量数量积的运算律和椭圆的性质求解. 【详解】由题可得，， 设为坐标原点，则, 所以 ,即， 因为，所以， 若存在四个不同的点满足，又， 所以，即，所以， 所以，所以， 故答案为: . 【变式2】已知椭圆：的上顶点为，两个焦点为，，线段的垂直平分线过点，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】求出线段的中点坐标，根据两直线垂直斜率关系可得，再结合可求得离心率. 【详解】   如图，设的垂直平分线与交于点， 由题，，，，则， ，， ， ，化简得，， 由，解得， ，即. 故答案为：. 考向四 椭圆的焦点三角形问题 【例4】设为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，为直角三角形，且，则的值为___________ 答案：2或 解析：焦点三角形问题优先考虑结合椭圆的定义求解，先给出椭圆的，由题意，，设，则(1)，是直角三角形，可用勾股定理稆译，但需讨论谁是直角顶点，有图1和图2两种情况，若为图1，则(2)，联立(1)(2)结合可解得：，所以；若为图2，则，即(3)，联立(1)(3)解得：，故. [反思]解析几何小题中对直角的常见翻译方法有：(1)勾股定理；(2)斜率之积为-1；(3)向量数量积等于0；(4)斜边上的中线等于斜边的一半等.选择合适的方法前应先预判计算量. 【变式】已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一点，为原点，若，且，则椭圆的离心率为___________ 答案： 解析：椭圆的离心率，故只需分析的三边比值，就可求得离心率， 题干的向量关系式可化简，先化简，，所以，故， 接下来只需结合即可分析的三边比值，不妨设，则，所以. [反思]椭圆焦点三角形已知(或可求得)三边比值求离心率，用公式来算. 考向五 椭圆有关的最值与范围问题 【