9.1 直线与圆-2024年高考数学一轮复习《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（新高考专用）

9.1 直线与圆 思维导图 知识点总结 典型例题分析 考向一 　倾斜角与斜率、直线的方程 1.把直线x-y+-1=0绕点(1,)逆时针旋转15°后,所得直线l的方程是(　　) A.y=-x B.y=x C.x-y+2=0 D.x+y-2=0 答案:B 解析:已知直线的斜率为1,则其倾斜角为45°,绕点(1,)逆时针旋转15°后,得到的直线l的倾斜角α=45°+15°=60°,直线l的斜率为tan α=tan 60°=,∴直线l的方程为y-(x-1),即y=x. 2.(2020上海静安期中)设直线的斜率k∈(-∞,-1]∪[1,+∞),则该直线的倾斜角α满足(　　) A.- B<< C< D< 答案:B 解析:因为k=tan α,所以当k≤-1时,<,当k≥1时,<,即直线的倾斜角α满足<<故选B. 3.若经过两点A(4,2y+1),B(2,-3)的直线的倾斜角为,则y等于(　　) A.-1 B.-3 C.0 D.2 答案:B 解析:由k==tan=-1,得-4-2y=2,所以y=-3.故选B. 4.直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是(　　) A.-1, B.-∞,∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪,+∞ D.(-∞,-1)∪,+∞ 答案:D 解析:设直线的斜率为k,则直线方程为y-2=k(x-1),令y=0,得直线l在x轴上的截距为1-,则-3<1-<3,解得k>或k<-1.故选D. 考向二 圆的方程 1.(2021北京海淀二模)已知实数x,y满足x2+y2+4x-6y+12=0,则x的最大值是(　　) A.3 B.2 C.-1 D.-3 答案:C 解析:方程化为(x+2)2+(y-3)2=1,圆心(-2,3),半径r=1,则x的最大值是-2+1=-1.故选C. 2.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=(　　) A.- B.- C D.2 答案:A 解析:圆的方程可化为(x-1)2+(y-4)2=4,则圆心坐标为(1,4),圆心到直线ax+y-1=0的距离为=1,解得a=-故选A. 3.(2021江苏盐城滨海中学一模)已知a,b都是实数,那么“a>2”是“方程x2+y2-2x-a=0表示圆”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案:A 解析:方程x2+y2-2x-a=0可化为(x-1)2+y2=1+a,1+a>0,即a>-1,由a>2能推出a>-1,反之不成立,故“a>2”是“方程x2+y2-2x-a=0表示圆”的充分不必要条件.故选A. 4.(2020山东滨州期末)已知圆的方程为x2+y2-6x=0,过点P(1,2)的该圆的所有弦中,最短弦的长为(　　) A B.1 C.2 D.4 答案:C 解析:由x2+y2-6x=0,得(x-3)2+y2=9,所以圆心坐标为(3,0),半径为3.当过点P(1,2)的弦与连接P与圆心的直线垂直时,弦最短,则最短弦长为2=2. 考向三 直线与圆的位置关系 1.(2020全国Ⅰ,文6)已知圆x2+y2-6x=0,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案:B 解析:圆的方程可化为(x-3)2+y2=9.因为=2<3,所以点(1,2)在圆内.如图所示,设圆心O1(3,0),A(1,2),当弦BC与O1A垂直时弦最短,因为|O1A|=2,|O1B|=3,所以|AB|==1,所以|BC|=2|AB|=2. 2.若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m的值是(　　) A.21 B.19 C.9 D.-11 答案:C 解析:圆C1的圆心C1(0,0),半径r1=1,圆C2的方程可化为(x-3)2+(y-4)2=25-m,所以圆心C2(3,4),半径r2=,从而|C1C2|==5.由两圆外切得|C1C2|=r1+r2,即1+=5,解得m=9,故选C. 3.(2021河南郑州二模)若直线x+ay-a-1=0与圆C:(x-2)2+y2=4交于A,B两点,当|AB|最小时,劣弧的长为(　　) A B.π C.2π D.3π 答案:B 解析:直线x+ay-a-1=0可化为(x-1)+a(y-1)=0,所以直线恒过定点M(1,1),圆的圆心为C(2,0),半径r=2,当MC⊥直线AB时,|AB|取得最小值,且最小值为2=2=2,此时弦AB对的圆心角为,所以劣弧的长为2=π,故选B. 基础题型训练 一、单选题 1．已知圆和圆，则两圆的位置关系为（    ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 【答案】B 【分析】求出两圆的圆心和半径，根据圆心距等于半径之