9.4 抛物线的定义与性质-2024年高考数学一轮复习《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（新高考专用）

9.4 抛物线的定义与性质 思维导图 知识点总结 内容提要 1.抛物线的定义：平面上到定点的距离与到定直线(不过定点)的距离相等的点的轨迹是抛物线，其中定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程与简单几何性质： 定义 标准方程 ( ) 焦点 准线 范围 对称轴 顶点 图形 轴 原点 轴 轴 轴 3.抛物线上的点到焦点的距离可用坐标表示，例如开口向右的抛物线中，若点在抛物线上，且准线于，如上表中第1个图，有，其余开口的抛物线类似. 典型例题分析 考向一 　抛物线的定义 【例1】已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过且垂直于轴的直线与抛物线交于两点，若的面积为2，则答案： 解析：如图，可以为底，为高来计算的面积，下面先求，将代入解得：，所以，又，所以，由题意，，所以，故. 【变式】(2020.新课标卷)已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为12，到轴的距离为9，则( ) A.2 B.3 C.6 D.9 答案：C 解析：如图，涉及抛物线上的点到焦点的距离，考虑抛物线的定义，设焦点为，准线为，作于，交轴于，由抛物线定义，，又，所以，即，故. 考向二 抛物线的标准方程 【例2】若抛物线的顶点在原点，焦点坐标为，则抛物线的标准方程为，准线方程是___________ 答案： 解析：先判断开口，并设标准方程，焦点为开口向右，可设抛物线方程为，则其焦点坐标为，由题意，，所以，故的方程为，准线方程为. [变式1]若抛物线的准线方程为，则___________ 答案：2 解析：先把所给方程化为标准方程，即把平方项系数化1，并判断开口，， 由抛物线的准线方程是知抛物线开口向上，所以，且，从而， 故抛物线的准线方程为，与比较可得，解得：. [变式2]顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线经过点，则的方程为___________ 答案：或 解析：抛物线过点，有如图所示的两种情况，下面分别考虑， 若开口向右，可设抛物线的方程为， 将点代入可得：， 解得：，所以的方程为； 若开口向上，可设抛物线的方程为，将点代入可得：， 解得：，所以的方程为； 综上所述，的方程为或. 考向三 焦半径和焦点弦 【例3】已知抛物线的焦点为，点是抛物线的准线与坐标轴的交点，点在抛物线上，若，则___________ 答案： 解析：涉及，常用抛物线定义转化为到准线的距离，如图，作准线于，因为，所以，设，则， 所以，故， 在中，和所对的角恰好分别是和，故可用正弦定理求， 在中，由正弦定理，， 所以. 考向四 直线与抛物线有关计算问题 【例4】已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，点在第一象限且在抛物线上，则当取得最小值时，直线的方程为___________ 答案： 解析：涉及，想到用定义转化为到准线的距离，如图1，作准线于，则，所以，又轴，所以，故， 于是只需找最小的情形，此时最大，如图2，当为抛物线切线时，最大，抛物线的准线为，所以，故可设图2中切线的方程为， 联立消去整理得：，因为直线与抛物线相切，所以，解得：，因为在第一象限，所以，故直线的方程为，即. 基础题型训练 一、单选题 1．已知抛物线的焦点为F，准线为，过抛物线上一点P作于点，则（    ） A．5 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】根据点坐标可知抛物线的准线方程以及点，进一步可得抛物线方程，然后求得，最后可得结果. 【详解】由点，知准线的方程为，焦点， 于是有抛物线的方程为，因为，所以， 代入抛物线方程解得，从而， 故选：A. 【点睛】本题考查抛物线的简单应用，考查抛物线的定义以及对题意的理解，属基础题. 2．设抛物线：的焦点为，点在上，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得出是抛物线通径的一半，再由勾股定理即可解决. 【详解】由题意可知，， 所以. 因为抛物线的通径长， 所以轴， 所以 故选：D. 3．已知点在抛物线上，点到抛物线的焦点的距离为，设为坐标原点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线定义性质：先求出p值，再将点M代入，求得，然后可以求的面积 【详解】根据抛物线的定义：，所以p=2;因此抛物线方程：y2=4x; 由于点M在抛物线上，所以则； 三角形的面积：；故答案：B 【点睛】考查抛物线的定义性质，求p 4．设直线与抛物线交于，两点，若(为坐标原点)，则的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题中所给的条件，结合抛物线的对称性，可知，从而可以确定出点的坐标，代入方程求得的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.