专题03 有理数乘方、有理数混合运算【考题猜想，40题7种题型】-2023-2024学年七年级数学上学期期中考点大串讲（苏科版）

专题03 有理数乘方、有理数混合运算（40题7种题型） 一、与有理数乘方有关的计算（共5小题） 1．（2022秋·江苏无锡·七年级统考期中）设a、b都表示有理数，规定一种新运算“Δ”：当a≥b时，aΔb＝b2；当a＜b时，aΔb＝2a．例如：1Δ2＝2×1＝2；3Δ(－2)＝(－2)2＝4． （1） (－3)Δ(－4) ＝ ； （2）求(2Δ3)Δ(－5)； （3）若有理数x在数轴上对应点的位置如图所示，求 (1Δx)Δx－(3Δx)． 2．（2022秋·江苏无锡·七年级校考期中）画出一条数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点，用“＜”连接． ，， ，，． 3．（2022秋·江苏·七年级期中）【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作a©，读作“a的圈c次方”． （1）【初步探究】直接写出计算结果：3③＝　 ，（）⑤＝　 ； （2）关于除方，下列说法错误的是　 ； A．任何非零数的圈2次方都等于1；B．对于任何正整数n，1ⓝ＝1；C.3④＝4③；D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． （3）【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ Ⅰ．试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．（﹣3）④＝　 ；5⑥＝　 ；⑩＝　 ； Ⅱ．想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于　 ； Ⅲ．算一算：④⑤⑥＝　 ． 4．（2022秋·江苏·七年级期中）探究：22﹣21=2×21﹣1×21=2(　　) 　23﹣22=　　　　=2(　　)， 　24﹣23=　　　　=2(　　)， …… （1）请仔细观察，写出第4个等式； （2）请你找规律，写出第n个等式； （3）计算：21+22+23+…+22019﹣22020． 5．（2022秋·重庆云阳·七年级校联考期中）请认真阅读下面材料，并解答下列问题． 如果  的次幂等于，即指数式，那么数叫做以为底的对数，对数式记作：例如： ①因为指数式，所以以2为底4的对数是2，对数式记作：； ②因为指数式，所以以4为底16的对数是2，对数式记作：． (1)请根据上面阅读材料将下列指数式改为对数式： ①；② (2)将下列对数式改为指数式： ①=2 ② (3)计算： 二、乘方的应用（共7小题） 6．（2022秋·全国·七年级期中）观察下列各式，完成下列问题。 已知1+3=4=22， 1+3+5=9=32， 1+3+5+7=16=42， 1+3+5+7+9=25=52，…… （1）仿照上例，计算：1+3+5+7+……+99=_______ （2）根据上述规律，请你用自然数n（n≥1）表示一般规律：_______ （3）根据你所总结的规律计算121+123+……+179的值 7．（2022秋·江西抚州·七年级统考期中）阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22013的值． 解：设S=1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘以2得： 2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014 将下式减去上式得2S﹣S=22014﹣1 即S=22014﹣1 即1+2+22+23+24+…+22013=22014﹣1 请你仿照此法计算： （1）1+2+22+23+24+…+210 （2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）． 8．（2022秋·吉林长春·七年级统考期中）有一种纸的厚度为毫米，若拿两张重叠在一起，将它对折一次后，厚度为毫米． (1)对折次后，厚度为多少毫米？ (2)对折次后，厚度为多少毫米？ 9．（2022秋·辽宁抚顺·七年级校考期中）（1）在下表中，给出了国外四个城市与北京的时差 城市 悉尼 罗马 伦敦 纽约 时差/小时 2 －7 －8 －13 下面的五个时钟显示了同一天同一时刻国外四个城市时间和北京时间， ①若北京时间是11月12日上午9点10分，那么伦敦时间为 ； ②从左到右五个时钟对应的城市分别为：A： ；B： ；C： ；D： ；E： ． （2）阅读下列材料，并解决后面的问题． 材料：一般地，n个相同的因数a相乘：记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即）．一般地，若（且），则n叫做以a为底b的对数，记为（即）．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）．直接写出之间满足的关系式． 10．（2022秋·浙江金华·七年级统考期中）某种球形病毒的直径约是