2.4曲线与方程-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年高二数学同步精讲精练（人教B版2019选择性必修第一册）

2.4曲线与方程 题型1曲线方程的概念 2 题型2由方程研究曲线的性质 4 题型3曲线与交点问题 6 ◆类型1交点个数问题 6 ◆类型2取值范围相关问题 7 题型4轨迹方程问题 8 知识点一.曲线的方程与方程的曲线的定义 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y）=0之间具有如下关系： 1.曲线C上的点的坐标都是方程F（x，y）=0的解; 2.以方程F（x，y）=0的解为坐标的点都在曲线C上. 则称曲线C为方程F（x，y）=0的曲线，方程F（x，y）=0为曲线C的方程. 知识点二.两曲线的交点 己知两条曲线C1和C2的方程分别为F（x，y）=0，G（x，y）=0，求两条曲线C1和C2的交点坐标，只要联立两个方程得方程组，求方程组的实数解就可以得到. 知识点三.点的轨迹方程 曲线一般都可以看成动点依某种条件运动的轨迹,曲线的方程也常称为满足某种条件的点的轨迹方程. 知识点四.求动点M轨迹方程的一般步骤 1. 设动点M的坐标为（x，y）（如果没有平面直角坐标系，需先建立）； 2. 写出M要满足的几何条件，并将该几何条件用M的坐标表示出来； 3.化简并检验所得方程是否为M的轨迹方程. 题型1曲线方程的概念 【方法总结】曲线与方程概念的理解 （1）建立平面直角坐标系后，由于平面内的点与作为它的坐标的有序实数对建立了一一对应的关系，曲线上的点所满足的关系反映在点的横坐标x 与纵坐标y之间有一定关系，这个关系通常用关于x，y的方程F（x，y）=0表示出来.也就是说，曲线的几何条件在曲线和方程的概念中被转化成方程了.因此，曲线和方程的概念有它的纯粹性和完备性."曲线上的点的坐标都是这个方程的解"，这阐明了曲线上的点的坐标没有不满足方程的（纯粹性）；" 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点"，这阐明了适合条件的所有点都在曲线上（完备性）．只有同时具备了上述两个条件才能称方 程F（x，y）=0为曲线C的方程，同时称曲线C为方程F（x，y）=0的曲线.它们都是“ 曲线的方程”和“ 方程的曲线”的必要条件，两者都满足，“ 曲线的方程"和"方程的曲线"才具备充分性. （2）从集合的意义上来理解曲线和方程的概念 如果把直角坐标平面内曲线上的点所组成的集合记作A，方程F（x，y）=0的解所对应的集合记作B，那么曲线和方程之间的两个关系：①曲线上的点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，反映在集合A和B之间的关系上，就是AB且BA，即A=B. 从集合相等的意义上来理解上述两条规定的必要性，有助于掌握曲线和方程的概念. 【例题1】（2022秋·贵州遵义·高二习水县第五中学校联考期末）设方程表示的曲线是（    ） A．一个圆和一条直线 B．一个圆和一条射线 C．一个圆 D．一条直线 【变式1-1】1.（2023春·四川南充·高二校考阶段练习）下列各组方程中，表示相同曲线的一组方程是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式1-1】2.（2023·高二课时练习）方程表示的曲线是（　　） A．—个圆 B．两个圆 C．一个半圆 D．两个半圆 【变式1-1】3.（2020秋·上海徐汇·高二位育中学校考期中）如果曲线上的任意一点的坐标都是方程的解，那么下列命题正确的是（    ） A．曲线的方程是 B．曲线上的点都在方程的曲线上 C．方程的曲线是 D．以方程的解为坐标的点都在曲线上 【变式1-1】4.（2022春·北京·高三中关村中学校考开学考试）曲线C：，点P在曲线C上．给出下列三个结论： ①曲线C关于x轴对称； ②曲线C关于y轴对称； ③曲线C上的点的横坐标的取值范围是； ④若，，则存在点P，使的面积大于． 其中，所有正确结论的序号是____________． 【变式1-1】5.（多选）（2022秋·江苏·高三校联考阶段练习）已知曲线，则（    ） A．曲线C关于坐标原点对称 B．曲线C关于y轴对称 C．或 D． 【变式1-1】6.（2022春·上海奉贤·高二上海市奉贤中学校考阶段练习）已知曲线．给出下列结论： ①曲线C是中心对称图形； ②曲线C是轴对称图形； ③曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ④设O为坐标原点，则曲线C上存在点P，使得． 其中，所有正确结论的序号是________． 题型2由方程研究曲线的性质 【方法总结】求曲线方程的步骤 1.建系：建立适当的坐标系.用有序实数对（x，y）表示曲线上任意一点M的坐标 2.写集合：写出适合条件p的点M的集合：P={M|p(M)} 3.列方程:用坐标表示条件p（M），列出方程f（x，y）=0 4.化简:化方程f（x，y）=0为最简形式 5.证明:说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上 【例题2】（2023·江西新余·统考二模）