精品解析：湖南省天壹名校联盟2023-2024学年高三上学期9月大联考数学试题

天壹名校联盟·2024届高三9月大联考 数学 本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，则（ ） A B. C. D. 3. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则（ ） A. B. C. D. 3 4. 为研究变量x，y的相关关系，收集得到下面五个样本点： x 5 6.5 7 8 8.5 y 9 8 6 4 3 若由最小二乘法求得y关于x的回归直线方程为，则据此计算残差为0的样本点是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 在正方体中，点，分别是棱和线段上的动点，则满足与垂直的直线（ ） A. 有且仅有1条 B. 有且仅有2条 C. 有且仅有3条 D. 有无数条 7. 等比数列的公比为，前项和为，则“”是“对任意的，，，构成等比数列的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分条件也不必要条件 8 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 图①是某大型游乐场的游客人数x（万人）与收支差额y（万元）（门票销售额减去投入的成本费用）的函数图象，销售初期该游乐场为亏损状态，为了实现扭亏为盈，游乐场采取了两种措施，图②和图③中的虚线为采取了两种措施后的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 图①中点A的实际意义表示该游乐场的投入的成本费用为1万元 B. 图①中点B的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，该游乐场的收支恰好平衡 C. 图②游乐场实行的措施是降低门票的售价 D. 图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用 10. 已知是定义在上不恒为0的奇函数，是的导函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 为偶函数 C. 为奇函数 D. 为偶函数 11. 已知数据成公差大于0的等差数列，若去掉数据，则（ ） A. 极差不变 B. 第25百分位数变大 C. 平均数不变 D. 方差变小 12. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点对称 C. 若在上单调递增，则 D. 当时， 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知复数满足，则的值为______. 14. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设空间站要将共5名航天员全部安排开展实验，其中天和核心舱至少要安排2人，问天实验舱与梦天实验舱都至少要安排1人，则不同的安排方案共有______种.（用数字作答） 15. 米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行必备的用具.如图为一个正四棱台型米斗，高为，且正四棱台的所有顶点都在一个半径为的球的球面上，一个底面的中心与球的球心重合，则该正四棱台的体积为______. 16. 已知椭圆的左、右焦点分别为，经过的直线交椭圆于两点，为坐标原点，且，则椭圆的离心率为______. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17. 在中，角对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若，角的平分线交于，求的长. 18. 如图所示，在多面体中，四边形，，均为正方形，为的中点，过，，的平面交于点． （1）证明：． （2）求二面角的余弦值． 19. 已知数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求证：. 20. 某中学为了解学生课外玩网络游戏（俗称“网游”）的情况，使调查结果尽量真实可靠，决定在高一年级采取如下“随机回答问题”的方式进行问卷调查：一个袋子中装有6个大小相同的小球，其中2个黑球，4个红球，所有学生从袋子中有放回地随机摸球两次，每次摸出一球，约定“若两次摸到的球的颜色不同，则按方式①回答问卷，否则按方式②回答问卷”. 方式①：若第一次摸到的是红球，则在问卷中画“√”，否则画“×”. 方式②：若你课外玩网游，则在问卷中画“√”，否则画“×”. 当所有学生完成问卷调查后，