2024年九年级中考数学复习 专题08 一元二次方程（同步课堂+真题练习+模拟练习+培优练习

专题8 一元二次方程 夯实基础 1．一元二次方程的概念 （1）只含有一个未知数（一元），未知数的最高次数是2（二次），且系数不为0的整式方程，叫做一元二次方程． （2）一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2叫做二次项，bx叫做一次项，c叫做常数项，a是二次项的系数，b是一次项的系数，注意a≠0． 2．一元二次方程的解法（降次） （1）直接开平方法：（x+m）2=n（n≥0）的根是． （2）配方法：将ax2+bx+c=0（a≠0）化成的形式，当b2-4ac≥0时，用直接开平方法求解． （3）公式法：ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式为 ． （4）因式分解法：将方程右边化为0，左边化为两个一次因式的积，令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程就得到原方程的解． 3．根的判别式 （1）当>0时，方程有两个不相等的实数根，即． （2）当=0时，方程有两个相等的实数根，即． （3）当<0时，方程没有实数根． 4．列一元二次方程解应用题的主要步骤 （1）审；（2）设；（3）列；（4）解；（5）验；（6）答． 吃透考点 1．判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准： （1）一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式． （2）一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数． （3）一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2． 2．用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的一般步骤 （1）一化 化二次项系数化为1，方程两边都除以二次项系数；． （2）二移 移项，使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；． （3）三配 ①配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，方程化为 的形式； ②方程左边变形为一次二项式的完全平方式，右边合并为一个常数； （4）四解： ①用直接开平方法解变形后的方程，此时需保证方程右边是非负数． ②分别解这两个一元二次方程，求出两根． 3．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的常用解法 （1）直接开平方法：对于形如（）或（）的方程，直接开平方． （2）配方法：将一元二次方程配方为的形式，再用直接开平方法求解． （3）公式法：一元二次方程的求根公式为（）． （4）因式分解法：将一元二次方程通过分解因式变为的形式，进而得到或来求解． 4．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解法选择 （1）当b=0时，首选直接开平法． （2）当c=0时，首选因式分解法或配方法． （3）当a=1，b≠0，c≠0时，首选配方法或因式分解法． （4）当a≠1，b≠0，c≠0时，首选公式法或因式分解法． 5．一元二次方程根与系数关系的两类应用 （1）求含有两根的代数式的值：设法将所求代数式通过因式分解或配方等恒等变形，变形为含有两根和与两根积的式子，再代入由一元二次方程根与系数关系得到的值，求出结果． （2）构造以两数为根的一元二次方程：由已知两数x1+x2和x1x2的值，然后依照所求方程是x2（x1+x2）x+x1x2=0写出方程． 6．常见的一元二次方程的应用问题 （1）增长率（降低率）问题：第一年产值为a，若以后每年的增长率均为x，则第二年的产值为a（1+x），第三年的产值为a（1+x）2；若以后每年的降低率均为x，则第二年的产值为a（1–x），第三年的产值为a（1–x）2． （2）利润问题：利润=售价–成本，总利润=单件的利润×数量． 方 法 技 巧 点 拨 1．用根与系数的关系求值时的常见转化 （1）； （2）； （3）； （4）． 2．一元二次方程的解法 （1）当时，利用直接降次法解形如的一元二次方程，开方后不要丢掉负根． （2）配方时，方程的左右两边都加上一次项系数一半的平方，这种做法的前提是二次项系数必须是，这是最容易忘记的． （3）公式法解一元二次方程的步骤： ①把方程化为一般形式； ②确定、、的值； ③计算的值； ④当时，把、、的值代入一元二次方程的求根公式． （4）若方程中有括号，不要急于去掉括号，观察方程是否可采用因式分解法求解． 考点1 一元二次方程的定义 【例1】（2023•无为市一模）下列方程是一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解． 【解答】解：．分母含未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； ．含2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； ．是一元二次方程，故本选项符合题意； ．含2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意． 故选：． 【变式练1】（2023•大连一模）若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是　　 A． B． C． D．为实数 【答案】 【分析】根据是一元二次方程的条件：二次项系数不为0