精品解析：河南省中原名校联考2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题

数学试卷 一、单选题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. =(2，-1，3)，=(-1，4，-2)，=(3，2，λ)，若，则实数等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 过点且平行于直线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在四面体OABC中，，，.点M在OA上，且，为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在直二面角中，是直线上两点，点，点，且，，，那么直线与直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要 6. 如图，平行六面体，其中，，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为（ ） A B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A. 若非零向量，，满足，，则有 B. 任意向量，，满足 C. 若，，是空间的一组基底，且，则A，B，C，D四点共面 D. 已知向量，，若，则锐角 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角范围是 B. 若直线与直线互相垂直，则 C. 过两点，的直线方程为 D. 经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为 11. 已知三棱锥，，是边长为2的正三角形，E为中点，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 异面直线与所成的角的余弦值为 C. 与平面所成的角的正弦值为 D. 三棱锥外接球的表面积为 12. 已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线、，切点分别是和，则下列说法错误的有（ ） A. 圆上恰有一个点到直线的距离 B. 切线长的最小值 C. 四边形面积的最小值为 D. 直线恒过定点 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13. 已知直线，直线，若，则实数值为______． 14. 已知是所在平面外一点，，且，则实数的值为____________. 15. 已知三点点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标__． 16. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为___________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设，，. （1）试用表示向量； （2）求BM的长. 18. 已知的三个顶点的坐标为、、，试求： （1）边上的高所在的直线方程； （2）的面积． 19. 如图，某海面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经过O，A，B三点． （1）求圆C方程； （2）若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险? 20. 如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，分别为的中点. （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 21. 已知圆C的圆心坐标为C（3，0），且该圆经过点A（0，4）． （1）求圆C的标准方程； （2）直线n交圆C于的M，N两点（点M，N异于A点），若直线AM，AN的斜率之积为2，求证：直线n过一个定点，并求出该定点坐标． 22. 如图，在三棱锥中，侧面是等边三角形，，． （1）证明：平面平面； （2）若，点在