第03讲 二项式定理（十五大题型）（讲义）-2024年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

第03讲 二项式定理 目录 考点要求 考题统计 考情分析 （1）能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理． （2）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 2023年北京卷第5题，4分 2023年天津卷第11题，5分 2023年上海卷第10题，5分 2022年I卷第13题，5分 (1)今后在本节的考查形式依然以选择或者填空为主,以考查基本运算和基本方法为主,难度中等偏下,与教材相当. (2)本节内容在高考中的比重可能会持续降低,但仍然是备考的重要内容. 知识点1、二项式展开式的特定项、特定项的系数问题 （1）二项式定理 一般地，对于任意正整数，都有：， 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式． 式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：， 其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数， （2）二项式的展开式的特点： ①项数：共有项，比二项式的次数大1； ②二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中； ③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到；字母升幂排列，次 数从到，每一项中，，次数和均为； ④项的系数：二项式系数依次是，项的系数是与的系数（包括二项式系 数）． （3）两个常用的二项展开式： ①（） ② （4）二项展开式的通项公式 二项展开式的通项： 公式特点：①它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是； ②字母的次数和组合数的上标相同； ③与的次数之和为． 注意：①二项式的二项展开式的第r+1项和的二项展开式的第r+1项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换位置的． ②通项是针对在这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项是（只需把看成代入二项式定理）． 2、二项式展开式中的最值问题 （1）二项式系数的性质 ①每一行两端都是，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即． ②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即． ③二项式系数和令，则二项式系数的和为，变形式． ④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令， 则， 从而得到：． ⑤最大值： 如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大； 如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大． （2）系数的最大项 求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来． 知识点3、二项式展开式中系数和有关问题 常用赋值举例： （1）设， 二项式定理是一个恒等式，即对，的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取，的值． ①令，可得： ②令，可得：，即： （假设为偶数），再结合①可得： ． （2）若，则 ①常数项：令，得． ②各项系数和：令，得． ③奇数项的系数和与偶数项的系数和 （i）当为偶数时，奇数项的系数和为； 偶数项的系数和为． （可简记为：为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配） （ii）当为奇数时，奇数项的系数和为； 偶数项的系数和为． （可简记为：为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配） 若，同理可得． 注意：常见的赋值为令，或，然后通过加减运算即可得到相应的结果． 题型一：求二项展开式中的参数 例1．（2023·河南郑州·统考模拟预测）的展开式中的常数项与展开式中的常数项相等，则的值为（    ） A． B． C．2 D．3 例2．（2023·四川成都·成都实外校考模拟预测）已知的展开式中存在常数项，则n的可能取值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 例3．（2023·全国·高三专题练习）展开式中的常数项为－160，则a＝（    ） A．－1 B．1 C．±1 D．2 变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知的展开式中的常数项为，则实数（    ） A．2 B．-2 C．8 D．-8 变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知的展开式中第3项是常数项，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【解题方法总结】 在形如的展开式中求的系数，关键是利用通项求，则． 题型二：求二项展开式中的常数项 例4．（2023·重庆南岸·高三重庆第二外国语学校校考阶段练习）已知，二项式的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为（    ） A．36 B．30 C．15 D．10 例5．（2023·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考阶段练习）二项式的展开式中的常数项为（    ） A．1792 B．－1792 C．1120 D．－1120 例6．（2023·北京房山·高三统考开学考试）的展开式中的常数项是（    ） A． B． C． D． 变式3．（2023·贵州贵阳·高三贵阳一中校考开学考试）