【数学思想】第2讲：函数与方程思想在立体几何中的应用-备战2024高考数学二轮复习讲义

第2讲 函数与方程思想在立体几何中的应用 方程思想是高中数学重要的思想方法之一，方程的思想是建立方程（组）、或构造方程来分析数学变量问的等量关系，通过解方程（组），或运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得以解决。孰练运用方程思想解决数学问题是高中阶段重要的数学能力之一，也是历年高考的重点。 函数与方程思想方法在在立体几何中大有用武之地，如立体几何中的求体积表面积以及距离的最值问题，空间几何体中的线线角、线面角、面面角的最值问题。 【应用一】函数与方程思想在几何体中解决体积表面积的最值问题 1.利用导数求函数f(x)在[a，b]上的最值的一般步骤： (1)求函数在(a，b)内的极值. (2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b). (3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值. 运用导数研究函数的最值是立体几何中求最值常用的方法和技巧。 【例1.1】（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知圆锥内切球（与圆锥侧面、底面均相切的球）的半径为2，当该圆锥的表面积最小时，其外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【思维提升】对于立体几何中的最值问题，要从以下几个方面入手：1、引入适当的变量，准确的表示出关于体积、表面积等函数关系式。2、通过求导或者运用基本不等式求函数的最值。 【变式1-1】（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考一模）某正六棱锥外接球的表面积为，且外接球的球心在正六棱锥内部或底面上，底面正六边形边长，则其体积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】【2022年新高考1卷】已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2022年广州附属中学高三模拟试卷）已知P，A，B，C是半径为2的球面上的点，，，点B在AC上的射影为D，则三棱锥体积的最大值是______ 【变式1-4】（2023·湖南邵阳·统考一模）在正方体中，点满足，且，直线与平面所成角为，若二面角的大小为，则的最大值是______. 【应用二】函数与方程思想在几何体中解决存在性的问题 解决空间几何体中的探索性或者存在性问题，可以从下面几步入手：第一步，首先根据已知条件建立适当的空间直接坐标系，并假设求解的结果存在，寻求使这个结率成立的充分条件。第二步。然后根据空间向量将以几何问题转化为空间向量问题，并进行计算求解。第三步得出结论，如果得到符合题目结果要求的条件，则存在如果。找不到符合题目结果要求的条件，或出现矛盾则不存。 【例2.1】（2023·云南玉溪·统考一模）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，，，M，N分别是线段AB，PC的中点． (1)求证：MN平面PAD； (2)在线段CD上是否存在一点Q，使得直线NQ与平面DMN所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【思维提升】对于这种探索性问题，就是假设存在，根据条件得出对于的方程或者不等式，然后解此方程或者不等式，但是一定要注意引入参数的范围。这也是对解出结果进行取舍的依据。 【变式2-1】（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）如图，在正三棱柱中，D为棱上的点，E，F，G分别为AC，，的中点，． (1)求证：； (2)若直线FG与平面BCD所成角的正弦值为，求AD的长． 【变式2-2】（2023·山西·统考一模）如图所示，在四棱锥中，侧面平面，是边长为的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，. (1)求到平面的距离； (2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【变式2-3】（2022年广州第十七中学高三模拟试卷）如图所示，在梯形ABCD中，，四边形ACFE为矩形，且平面，． （1）求证：平面BCF； （2）点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成的锐二面角的正弦值为． 【应用三】函数与方程思想在几何体中运用向量的方法解决角度、距离的最值问题 解决的途径就是建立起关于角或者距离的目标函数，然后通过求导或者运用基本不等式进行求导。 【例3.1】（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知四棱锥的底面为正方形，底面，点是线段上的动点，则直线与平面所成角的最大值为（    ） A． B． C． D． 【思维提升】对于立体几何中的线线角、线面角、面面角以及距离最值问题若不好直接表示