1.2椭圆的几何性质 课件-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

1.2 椭圆的几何性质 探究椭圆的简单几何性质，包括椭圆的范围、对称性、顶点及离心率，初步学习利用曲线方程研究曲线几何性质的方法，达到数学抽象与直观想象核心素养学业质量水平一的层次。 掌握椭圆的简单几何性质，理解a、b、c的几何意义，掌握离心率的定义及几何意义，达到数学抽象与直观想象核心素养学业质量水平二的层次。 能利用椭圆的几何性质解决问题，达到数学运算核心素养水平二的层次。 复习回顾 椭圆的定义 椭圆的标准方程 椭圆的统一格式 平面内到两个定点的距离之和等于常数(大于|F1F2|）的点的集合(或轨迹)叫作椭圆 其中 椭圆标准方程统一为：mx2+ny2=1 当绳长大于焦距，图形为椭圆 当绳长等于焦距，图形为线段F1F2 当绳长小于焦距，不构成图形 环节一 椭圆的几何性质 思考1：观察下图，你发现以为例，椭圆x、y的取值范围是什么？ 1、椭圆的几何性质 思考2：你觉得可以怎么快速画出椭圆？ 椭圆在和围成的矩形中。 思考3：观察下图，你发现椭圆的对称轴和对称中心是什么？ 1、椭圆的几何性质 对称轴为x轴或y轴 思考4：椭圆的对称性意味着什么呢？ 椭圆与任意一个具有同样对称性的图形相交，交点也对称。 对称中心为原点 思考5：观察下图，椭圆与坐标轴交点的坐标是什么？ 1、椭圆的几何性质 四个顶点：   线段 分别叫作椭圆的长轴和短轴 长轴 F1B2=a 思考6：你能计算出F1B2的长度吗？ 思考7：你能说出a、b、c在椭圆中可以表示哪些线段长度吗？ 1、椭圆的几何性质 a：F1B2、F2B2、F1B1、F2B1、OA1、OA2 b：OB1、OB2 c：OF1、OF2 思考8：你能计算出OF1B2、F1F2B2的周长吗？ OF1B2的周长为a+b+c F1F2B2的周长为2a+2c 思考9：你能计算出ABF2的周长吗？ 1、椭圆的几何性质 ABF2的周长为4a 思考10：AB满足什么条件，与焦点连接的三角形周长就是4a？ AB经过焦点 （多选）已知椭圆＋＝1与椭圆＋＝1有相同的长轴，与椭圆＋＝1的短轴长相等，则（　AD　） A.a2＝25 B.b2＝25 C.a2＝9 D.b2＝9 解析：椭圆＋＝1的长轴长为10，椭圆＋＝1的短轴长为6，由题意可知椭圆＋＝1的焦点在x轴上，即有a＝5，b＝3.故选AD. AD 例 1 例 2 椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，求m的值。 解析：椭圆x2＋my2＝1的标准形式为＋x2＝1. 因为焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍， 所以＝4，所以m＝. 椭圆C：＋＝1的右焦点为F，点P是椭圆C上的动点，求｜PF｜的最大值。 解析：由题得a＝4， c＝＝2， 则｜PF｜≤a＋c＝6. 所以｜PF｜的最大值是6. 例 3 椭圆上点到焦点的距离的取值范围为（a-c,a+c） 例 4 若中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程 解析：由已知得a＝9，2c＝×2a，∴c＝a＝3，b2＝a2－c2＝72. 又焦点在x轴上，∴椭圆方程为＋＝1. 环节二 椭圆的离心率 思考1：下面的椭圆有什么区别呢？ 1、椭圆的几何性质 扁的成都不一样 思考2：什么能决定椭圆扁的程度呢？ 根据快速画椭圆的方法，a和b决定了椭圆的宽度和高度 思考3：a一定时，b的值越大，椭圆有什么变化？此时c有什么变化？ b的值越大，椭圆越圆，此时c越小 离心率：椭圆的焦距与长轴长度的比叫作椭圆的离心率，用e表示，即 1、椭圆的几何性质 思考14：离心率的取值范围是什么？离心率越大椭圆越圆吗？ c＜a，所以e∈（0，1） e越大，椭圆越扁 例 1 若一个椭圆短轴的长度是长轴的长度与焦距的和的一半，求该椭圆的离心率。 解析：由题意有（2a＋2c）＝2b，即a＋c＝2b， 又c2＝a2－b2，消去b整理得5c2＝3a2－2ac，即5e2＋2e－3＝0， ∴e＝或e＝－1（舍去）. 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的离心率。 解析：由题意知2a＝2×2b，即a2＝4b2＝b2＋c2，所以c2＝3b2， 例 2 所以a2＝c2，所以e＝. 例 3 设椭圆方程mx2＋4y2＝4m（m＞0）的离心率为，试求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标及顶点坐标. [自主解答] 椭圆方程可化为＋＝1. ①当0＜m＜4时，∴e＝＝＝，∴m＝3，∴b＝，c＝1， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是4，2，焦点坐标为F1（－1，0），F2（1，0），顶点坐标为A1（－2，0），A2（2，0），B1（0，－），B2（0，）. ②当m＞4时，∴e＝＝＝，解得m＝，∴a＝，c＝， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别为，4，焦点坐标为F1（0，－），F2（0，），顶点坐标为A1（0，－），A2（0，），B1（－2