专题函数对称性、周期性和奇偶性的规律讲义-2024届高三数学一轮复习

2024届高三一轮复习专题讲义——函数对称性、周期性和奇偶性规律

一、    同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)

1、   周期性：对于函数，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。

2、   对称性定义（略），请用图形来理解。

3、   对称性：

我们知道：偶函数关于y（即x=0）轴对称，偶函数有关系式

奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式

       上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的

       探讨：（1）函数关于对称

             也可以写成 或

               若写成：，函数关于直线 对称

            （2）函数关于点对称

             或

             若写成：，函数关于点 对称

4、   周期性：

            （1）函数满足如下关系系，则

               A、  B、

           定理3：若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期.

           定理4：若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期.

    定理5：若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期.

二、    两个函数的图象对称性 

1、   与关于X轴对称。

换种说法：与若满足，即它们关于对称。

2、   与关于Y轴对称。

换种说法：与若满足，即它们关于对称。

3、   与关于直线对称。

换种说法：与若满足，即它们关于对称。

4、   与关于直线对称。

换种说法：与若满足，即它们关于对称。

5、   关于点(a,b)对称。

换种说法：与若满足，即它们关于点(a,b)对称。

6、   与关于直线对称。

7、   函数的轴对称：

定理1：如果函数满足，则函数的图象关于直线对称.

推论1：如果函数满足，则函数的图象关于直线对称.

推论2：如果函数满足，则函数的图象关于直线（y轴）对称.特别地，推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理1的简化.

8、   函数的点对称：

定理2：如果函数满足，则函数的图象关于点对称.

推论3：如果函数满足，则函数的图象关于点对称.

推论4：如果函数满足，则函数的图象关于原点对称.特别地，推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化.

三、试题

1．已知定义为R的函数满足，且函数在区间上单调递增.如果