精品解析：重庆市第八中学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

重庆八中2024-2025学年度(上)半期考试高一年级 数学试题 一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“”的否定为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称命题否定的结构形式可得正确的选项. 【详解】命题“”的否定为：， 故选：A. 2. 若全集，集合，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据补集和交集的定义可求. 【详解】，故， 故选：A. 3. 下列各组函数表示同一函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对应关系及定义域逐项判断即可. 【详解】对于A：两函数对应关系不一样，不表示同一函数，； 对于B：，，两函数定义域不同，不表示同一函数； 对于C：：，，对应关系相同且定义域相同（都是），表示同一函数； 对于D：，两函数对应关系与定义域都不相同，不表示同一函数. 故选：C 4. 已知函数，如果且，则它的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的对称轴，与轴交点位置，开口方向以及最值可判断图象位置. 【详解】由题意，函数， 因为，令，可得，即函数图象过点． 又由，可得，，所以抛物线的开口向上，可排除D项， 令，可得，可排除B、C项． 故选：A． 5. 设，用表示不超过的最大整数，如，则“”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系. 【详解】取，则，则，故“”推不出“”. 若，设，其中，， 此时，故成立， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 6. 对任意两个实数，定义，若，则下列关于函数的说法错误的是（　　） A. 函数是偶函数 B. 方程有两个根 C. 不等式的解集为(1，2) D. 函数的值域为 【答案】B 【解析】 【分析】根据定义写出函数解析式，并画出函数图象，观察图象即可得出正确选项. 【详解】由题意可得，， 作出函数图象，如图所示： 由图象可知，为偶函数，故A正确； 方程有三个解，故B错误； 由，当时，解得，可得交点坐标， 由，当时，解得，可得交点坐标 由图像可知：的解集为(1，2)，故C正确； 由图可知，的最大值为，值域为，故D正确. 故选：B 7. 已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递增．若，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据定义域对称求出，再根据单调性和奇偶性可求不等式的解. 【详解】因为为偶函数，故即， 而在上单调递增且为偶函数，故在上为减函数， 而即为， 故，故或， 故选：C. 8. 对于函数，若存在，则称为的不动点.若函数对恒有两个相异的不动点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据恒有两个不动点，转化为恒有两个不等实根，利用判别式求解即可. 【详解】因为函数恒有两个相异的不动点，即恒有两个不等实根， 整理得， 所以，即，对恒成立， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A 二、选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据不等式的性质，以及作差法，判断选项. 【详解】对于A，由，，可得，，故，所以A正确； 对于B，若，则，所以B正确； 对于C，若，，则，所以，所以C正确； 对于D，因为，又因为，可得，，所以，所以，所以D错误. 故选：ABC. 10. 已知，则下列选项一定正确的是（　　） A. 的最大值为 B. 的最小值为1 C. 的最大值为2 D. 最小值为9 【答案】AD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断AB的正误，利用二次函数的性质可判断C的正误，利用“1”的代换结合基本不等式可判断D的正误. 【详解】对于A，， 而，故即， 故即， 当且仅当时等号成立即的最大值为，故A成立； 对于B，， 等号成立的条件为即，但，故等号不成立， 所以的最小值不为1，故B错误； 对于C，，当且仅当时等号成立， 但此时，与矛盾，故的最大值不为2，故C错误； 对于D，， 当且仅当时等号成立，故最小值为9， 故D正确； 故选：AD. 11. 已知函数，则以下结论正确的是（　　） A. 的值域是 B. 对任意，都有 C. 对任意，都有 D. 若规定，其中，则 【答案】BD 【解析】 【分析】A：求出函数的解析式，根据单调性求值域； B C：作出函数图像，根据凸函数性质判断，根据单调性判断； D：根据已知条件推出一般结论，然后求解． 【详解】A：， 函数是奇函数， 当时，， ∴当时，时，， ，即函数的值域为， 故A错误； B，C：，作出图像： 根据图像可知，在，满足，， 在，由对称性可得：满足，故C错误； 若对任意，都有， 则等价为函数为增函数， 当时， 则为减函数，为减函数， 则为增函数， 是奇函数， 在上为增函数，故B正确； D：∵ ， ， 所以 ∴故D正确﹒ 故选：BD 三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案写在答题卡相应位置上． 12. 不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【详解】因为，∴，∴，∴解集为. 故答案为：． 13. 定义集合运算:且．若集合，则集合的子集个数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据新集合定义结合子集个数公式可求出相应个数. 【详解】由题设中新集合的定义可得： ，，故， 故其子集个数为， 故答案为：. 14. 设矩形的周长为定值，把沿向折叠，折过去后交于点，如图，则当的面积最大时，矩形的面积为_____ 【答案】 【解析】 【分析】设，，计算可得，则，利用基本不等式可求最大值，从而可求对应的矩形的面积. 【详解】由题设有，由折叠过程可得， 故，设，，而， 故即即， 则，故， 所以，故， 所以，故， 令， 则， 当且仅当，故当时，的面积最大时， 矩形的面积为. 故答案为：. 四、解答题:本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合， （1）求; （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）求出集合利用交集的定义可求； （2）求出，再就是否为空集分类讨论后可得参数的范围. 【小问1详解】 ，， 故. 【小问2详解】 由（1）可得，故， 若，则即，符合； 若，则或，故， 综上，或. 16. 已知关于的不等式的解集为． （1）求实数的值; （2）求关于的不等式的解集． 【答案】（1）， （2）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）依题意可得，为关于的方程的两根且，利用韦达定理得到方程组，解得即可； （2）依题意可得，再分、、、四种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【小问1详解】 因为关于的不等式的解集为， 所以，为关于的方程的两根且， 所以，解得； 【小问2详解】 不等式， 即，即， 当时，解得，所以不等式的解集为； 当时，不等式即， 若，即，此时不等式即，解得，所以不等式的解集为； 若，即时，解得或，所以不等式的解集为； 若，即时，解得或，所以不等式的解集为； 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 17. 重庆市主城区城市公共供水企业(不含乡镇水厂)服务的“一户一表”居民用水户综合水价按三档分阶梯计价(如下表所示)．阶梯水量以年为计价周期，周期之间不累计、不结转． 阶梯 用户用水量(吨) 综合水价(元/吨) 其中 自来水费(元/吨) 污水处理费(元/吨) 第一阶梯 (含) 3．50 2．50 1．00 第二阶梯 (含) 4．22 3．22 第二阶梯 360以上 5．90 4．90 （1）求用户水费与用水量的函数解析式，并求当某户一年所交水费为1078．8元时其一年的用水量: （2）为改善生态环境，某污水处理企业对居民用水所产生的污水进行处理．已知该企业污水日处理量为百吨，日处理污水的总成本元与百吨之间的函数关系可近似地表示为．若该企业每处理1百吨污水获收益100元，为使该企业可持续发展，政府决定对该污水处理企业进行财政补贴:处理百吨污水补贴元，求该企业每日可获得的最大利润． 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题设写出水费的分段函数表达式，即可求解； （2）表示出利润的表达式，即可求解. 【小问1详解】 设用水量为吨，则： 当，水费元； 当，水费元； 当，水费元； 由题设，水费， 当元，而，， 所以，可得吨. 也即一年的用水量为吨. 【小问2详解】 由题意可得该企业每日可获得的利润为： 由二次函数对称轴为，开口向下可知： 当时，取得最大值，最大值为：. 所以该企业每日可获得的最大利润为元. 18. 已知函数是定义在上的奇函数且． （1）求函数的解析式; （2）判断并用定义证明函数在上的单调性; （3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）在上为增函数，证明如下： 设，则， 因为，故， 所以即即在上为增函数， 而在上为奇函数，故在上为增函数. （3） 【解析】 【分析】（1）先根据恒成立求出，再根据求出，故可求函数解析式； （2）利用单调性定义结合函数为奇函数可证得在上为增函数. （3）根据函数单调性结合定义域可得在上恒成立，利用特征法可得，结合判别式可求参数的范围. 【小问1详解】 因为为上的奇函数，故， 故即， 而，故，故，故. 【小问2详解】 在上为增函数，证明略； 【小问3详解】 不等式即为， 故在上恒成立， 所以取，则， 故在上恒成立且， 所以即. 19. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．可以将其推广为:函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数是奇函数．已知函数． （1）求函数图象的对称中心; （2）已知函数关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设的对称中心为，根据对称性得到关于的方程，解得即可得解； （2）易求得的值域为，设函数的值域为集合，则问题可转化为，分，和三种情况讨论，从而可得出答案. 【小问1详解】 设的对称中心为， 由题意，得函数为奇函数， 则， 即， 即， 整理得， 所以，解得， 所以函数的对称中心为； 【小问2详解】 解：因为对任意的，总存在，使得， 所以函数的值域是函数的值域的子集， 因为函数在上是增函数， 所以函数在上是增函数， 所以的值域为， 设函数的值域为集合， 则原问题转化为， 因为函数关于对称， 又因为，所以函数恒过点， 当，即时，在上递增，则函数在上也是增函数， 所以函数在上递增， 又， 所以的值域为，即， 又， 所以，解得， 当即时，在上递减，则函数在上也是减函数， 所以函数在上递减， 则， 又， 所以，解得， 当即时， 在上递减，在上递增， 又因函数过对称中心， 所以函数在上递增，在上递减， 故此时，， 要使， 只需要，解得， 综上所述实数m的取值范围为. 【点睛】此类问题可转化为函数值域的包含关系即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆八中2024-2025学年度(上)半期考试高一年级 数学试题 一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“”的否定为（　　） A. B. C. D. 2. 若全集，集合，则（　　） A. B. C. D. 3. 下列各组函数表示同一函数的是（　　） A. B. C. D. 4. 已知函数，如果且，则它的图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 设，用表示不超过的最大整数，如，则“”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 对任意两个实数，定义，若，则下列关于函数的说法错误的是（　　） A. 函数是偶函数 B. 方程有两个根 C. 不等式的解集为(1，2) D. 函数的值域为 7. 已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递增．若，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 8. 对于函数，若存在，则称为的不动点.若函数对恒有两个相异的不动点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 10. 已知，则下列选项一定正确的是（　　） A. 的最大值为 B. 的最小值为1 C. 的最大值为2 D. 最小值为9 11. 已知函数，则以下结论正确的是（　　） A. 的值域是 B. 对任意，都有 C. 对任意，都有 D. 若规定，其中，则 三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案写在答题卡相应位置上． 12. 不等式的解集为______. 13. 定义集合运算:且．若集合，则集合的子集个数为_____． 14. 设矩形的周长为定值，把沿向折叠，折过去后交于点，如图，则当的面积最大时，矩形的面积为_____ 四、解答题:本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合， （1）求; （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知关于的不等式的解集为． （1）求实数的值; （2）求关于的不等式的解集． 17. 重庆市主城区城市公共供水企业(不含乡镇水厂)服务的“一户一表”居民用水户综合水价按三档分阶梯计价(如下表所示)．阶梯水量以年为计价周期，周期之间不累计、不结转． 阶梯 用户用水量(吨) 综合水价(元/吨) 其中 自来水费(元/吨) 污水处理费(元/吨) 第一阶梯 (含) 3．50 2．50 1．00 第二阶梯 (含) 4．22 3．22 第二阶梯 360以上 5．90 4．90 （1）求用户水费与用水量的函数解析式，并求当某户一年所交水费为1078．8元时其一年的用水量: （2）为改善生态环境，某污水处理企业对居民用水所产生的污水进行处理．已知该企业污水日处理量为百吨，日处理污水的总成本元与百吨之间的函数关系可近似地表示为．若该企业每处理1百吨污水获收益100元，为使该企业可持续发展，政府决定对该污水处理企业进行财政补贴:处理百吨污水补贴元，求该企业每日可获得的最大利润． 18. 已知函数是定义在上的奇函数且． （1）求函数的解析式; （2）判断并用定义证明函数在上的单调性; （3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 19. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．可以将其推广为:函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数是奇函数．已知函数． （1）求函数图象的对称中心; （2）已知函数关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $