第01讲 计数原理（三大题型）（讲义）-2024年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

第01讲 计数原理 目录 考点要求 考题统计 考情分析 （1）理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理． （2）会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题． 2020年上海卷第10题，5分 2016年上海卷第8题，3分 今后在本节的考查形式依然以选择或者填空为主，以考查基本概念和基本方法为主，难度中等偏下，与教材相当． 知识点1、分类加法计数原理 完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的办法，在第2类办法中有种不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法． 知识点2、分步乘法计数原理 完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法． 注意：两个原理及其区别 分类加法计数原理和“分类”有关，如果完成某件事情有类办法，这类办法之间是互斥的，那么求完成这件事情的方法总数时，就用分类加法计数原理． 分步乘法计数原理和“分步”有关，是针对“分步完成”的问题．如果完成某件事情有个步骤，而且这几个步骤缺一不可，且互不影响（独立），当且仅当依次完成这个步骤后，这件事情才算完成，那么求完成这件事情的方法总数时，就用分步乘法计数原理． 当然，在解决实际问题时，并不一定是单一应用分类计数原理或分步计数原理，有时可能同时用到两个计数原理．即分类时，每类的方法可能运用分步完成；而分步后，每步的方法数可能会采取分类的思想求方法数．对于同一问题，我们可以从不同的角度去处理，从而得到不同的解法（但方法数相同），这也是检验排列组合问题的很好方法． 知识点3、两个计数原理的综合应用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理． 题型一：分类加法计数原理的应用 例1．（2023·全国·高三专题练习）如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（　　） A．48 B．18 C．24 D．36 例2．（2023·四川成都·双流中学校考模拟预测）如图，小黑圆表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连．连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息（    ）    A．26 B．24 C．20 D．19 例3．（2023·江苏镇江·高三扬中市第二高级中学校考阶段练习）定义：“各位数字之和为7的四位数叫好运数”，比如1006，2203，则所有好运数的个数为（     ） A．82 B．83 C．84 D．85 变式1．（2023·全国·高三专题练习）从1，2，3，4，5，6中选取4个数字，组成各个数位上的数字既不全相同，也不两两互异的四位数，记四位数中各个数位上的数字从左往右依次为a，b，c，d，且要求，则满足条件的四位数的个数为 . 变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知直线方程，若从0、1、2、3、5、7这六个数中每次取两个不同的数分别作为A、B的值，则可表示 条不同的直线． 变式3．（2023·辽宁·高三校联考开学考试）某迷宫隧道猫爬架如图所示，，C为一个长方体的两个顶点，，是边长为3米的大正方形的两个顶点，且大正方形由完全相同的9小正方形拼成.若小猫从点沿着图中的线段爬到点，再从点沿着长方体的棱爬到点，则小猫从点爬到点可以选择的最短路径共有 条.    【解题方法总结】 分类标准的选择 （1）应抓住题目中的关键词、关键元素、关键位置．根据题目特点恰当选择一个分类标准． （2）分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复，但也不能有遗漏． 题型二：分步乘法计数原理的应用 例4．（2023·广东深圳·高三校考阶段练习）甲、乙、丙3个公司承包6项不同的工程，甲承包1项，乙承包2项，丙承包3项，则共有 种承包方式（用数字作答）. 例5．（2023·全国·高三专题练习）若一个三位数同时满足：①各数位的数字互不相同；②任意两个数位的数字之和不等于9，则这样的三位数共有 个．(结果用数字作答) 例6．（2023·安徽亳州·高三蒙城第一中学校考阶段练习）将3名男生，2名女生排成一排，要求男生甲必须站在中间，2名女生必须相邻的排法种数有（    ） A．4种 B．8种 C．12种 D．48种 变式4．（2023·四川成都·高三统考开学考