第三章 压轴专攻(四) 极值点偏移问题-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教学课件PPT（旧教材，人教A版）

压轴专攻(四)　极值点偏移问题 极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样,导致函数图象不具有对称性,极值点偏移问题常常出现在高考数学的压轴题中,这类题往往对思维要求较高,过程较为烦琐,计算量较大,解决极值点偏移问题,有构造对称函数法和比值代换法等. 课堂突破 提升素养能力 考点一　对称构造法求极值点偏移问题 [例1] (2023·江苏启东模拟)已知函数f(x)=aex-x,a∈R.若f(x)有两个不同的零点x1,x2.证明:x1+x2>2. 对称变换求极值点偏移的步骤 [素能演练1] (2023·山东青岛二中模拟)已知函数f(x)=(x-1)ex-a,a∈R. (1)若函数f(x)有两个零点,求a的取值范围; (1)解:由f(x)=0得a=(x-1)ex,令g(x)=(x-1)ex,因为g′(x)=xex, 由g′(x)>0得x>0,所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,由g′(x)<0得x<0,所以函数g(x)在(-∞,0)上单调递减, 所以当x=0时,函数g(x)取到极小值同时也是最小值,g(x)min=g(0)=-1, 当x→+∞时,g(x)→+∞,当x→-∞时,g(x)→0,且g(x)<0,则要使a=g(x)有两个不同的解, 则-1<a<0,即当-1<a<0时,函数f(x)有两个零点. [素能演练1] (2023·山东青岛二中模拟)已知函数f(x)=(x-1)ex-a,a∈R. (2)设x1,x2是函数f(x)的两个零点,证明:x1+x2<0. (2)证明:因为x1,x2是函数f(x)的两个零点,所以由(1)可知x1x2<0, 且f(x1)=f(x2)=0,不妨设x1<0,x2>0,则-x2<0, 令F(x)=f(x)-f(-x)=(x-1)ex+(1+x)e-x(x<0),则F′(x)=x(ex-e-x), 当x<0时,F′(x)>0,此时F(x)在(-∞,0)上单调递增,所以F(x)<F(0)=0, 即f(x)<f(-x), 因为-x2<0,所以f(-x2)<f(x2),因为f(x1)=f(x2)=0,所以f(-x2)<f(x1), 由(1)可知,f(x)在(-∞,0)上单调递减,所以-x2>x1,即x1+x2<0. 考点二　消参减元法求极值点偏移问题 [例3] 已知函数f(x)=ln x-ax,a为常数,若函数f(x)有两个零点x1,x2,试证明:x1·x2>e2. 含参数的极值点偏移问题,在原有的两个变元x1,x2的基础上,又多了一个参数,因此需要想办法消去参数,从而转化成不含参数的问题去解决;或者以参数为媒介,构造出一个变元的新的函数.由于可导函数f(x)的极值点是f′(x)的零点,也是方程f′(x)=0的实根,所以有些与零点或方程实根有关的问题可以利用求解极值点偏移问题的方法去解决. 考点三　比(差)值换元法求极值点偏移问题 比(差)值换元的目的也是消参、减元,就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系,然后利用两个极值点之比(差)作为变量,从而实现消参、减元的目的.设法用比值或差值(一般用t表示)表示两个极值点,继而将所求解问题转化为关于t的函数问题. [素能演练3] 已知函数f(x)=ln x-x.若函数y=f(x)的图象与直线y=m(m∈R)的图象交于 A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,求证:2x1+x2>4-2ln 2. 点击进入 课时作业 谢谢观赏 证明:由f(x)=0得-a=0,令g(x)=-a,则g′(x)=,当x∈(-∞,1)时,g′(x)>0,g(x)单调递增;当x∈(1,+∞)时,g′(x)<0,g(x) 单调递减,不妨设x1<1<x2,要证x1+x2>2,只要证x2>2-x1>1. 由于g(x)在(1,+∞)上单调递减,故只要证g(x2)<g(2-x1),由于g(x1)=g(x2)=0,故只要证g(x1)<g(2-x1), 令H(x)=g(x)-g(2-x)=-(x<1),则H′(x)=-=, 因为x<1,所以1-x>0,2-x>x,所以e2-x-ex>0,所以H′(x)>0,所以H(x)在(-∞,1)上单调递增. 因为x1<1,所以H(x1)<H(1)=0,即有g(x1)<g(2-x1)成立,即g(x2)<g(2-x1),所以x1+x2>2. 证明:由题意,f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1-+==. 当x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增. 假设0<x1<1<x2,要证明x1x2>1,即证明x1>,只需证f(x1)<f(), 又f(x1)=f(x2),所以只需证f(x2)<f(),构造函数g(x)=f(x)-f()(x>1). g(x)=-2x+4ln x,所以