第九章 第6节 直线与椭圆-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教学课件PPT（旧教材，人教A版）

第6节　直线与椭圆 [考试要求] 1.理解直线与椭圆位置关系的判断方法. 2.掌握直线被椭圆所截的弦长公式. 3.了解直线与椭圆相交的综合问题. 课前预习 巩固主干知识 1.直线与椭圆的位置关系 将直线方程与椭圆方程联立,消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程,则直线与椭圆相交⇔Δ>0;直线与椭圆相切⇔Δ=0;直线与椭圆相离⇔Δ<0. [重要结论] (2)过左焦点的弦AB,A(x1,y1),B(x2,y2),则焦点弦|AB|=2a+e(x1+x2);过右焦点弦CD,C(x3,y3),D(x4,y4),则焦点弦|CD|=2a-e(x3+x4).(e为椭圆的离心率) 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)椭圆通径是所有焦点弦中最短的弦.(　　) × × √ √ C C 答案:13 课堂突破 提升素养能力 考点一　直线与椭圆的位置关系 研究直线与椭圆位置关系的方法 (1)研究直线与椭圆的位置关系,一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数. (2)对于过定点的直线,也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点. 考点二　中点弦及弦长问题 答案:2x+4y-3=0 微点1　中点弦问题 弦及弦中点问题的解决方法 (1)根与系数的关系:直线与椭圆方程联立、消元,利用根与系数的关系及中点坐标公式求解. 微点2　弦长问题 1.弦长的求解方法 (1)当弦的两端点坐标易求时,可直接利用两点间的距离公式求解. (2)当直线的斜率存在时,斜率为k的直线l与椭圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两个不同的点,则弦长公式的常见形式有如下几种: 2.利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的,不要忽略判别式. 考点三　直线与椭圆的综合问题 1.求解直线与椭圆的综合问题的基本思想是方程思想,即根据题意,列出有关的方程,利用代数的方法求解.为减少计算量,在代数运算中,经常运用设而不求的方法. 2.直线方程的设法 根据题意,如果需要讨论斜率不存在的情况,则设直线方程为x=ty+m,避免讨论;若所研究的直线的斜率存在,则可设直线方程为y=kx+b的形式,若平行于坐标轴的直线都包含,则不要忽略斜率为0或不存在的特殊情形. 点击进入 课时作业 谢谢观赏 2.弦长公式 设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=|x1-x2|= 或|AB|=|y1-y2|= k为直线斜率且 k≠0. , (1)焦点弦中通径最短,即过焦点与长轴垂直的弦,其长度为. (6)点P(x0,y0)在椭圆上,过点P的切线方程为 +=1. 已知椭圆+=1(a>b>0). (3)A1,A2为椭圆的长轴顶点,P是椭圆上异于A1,A2的任一点,则·=-. (4)AB是椭圆的不平行于对称轴且不过原点的弦,O为原点,M为AB的中点,则kOM·kAB=-. (5)过原点的直线交椭圆于A,B两点,P是椭圆上异于A,B的任一点,则kPA·kPB=-. (2)直线y=x与椭圆+y2=1一定相交.(　　) (3)直线y=x-1被椭圆+y2=1截得的弦长为.(　　) (4)过椭圆上两点A(x1,y1),B(x2,y2)的直线的斜率k=.(　　) 2.(教材改编题)已知斜率为1的直线l过椭圆+y2=1的右焦点,交椭圆于A,B两点,则弦AB的长为(　 　) A. B. C. D. 解析:由题意得,a2=4,b2=1,所以c2=3,所以右焦点坐标为(,0),则直线l的方程为y=x-,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立 消去y,得5x2-8x+8=0,则x1+x2=,x1x2=, 所以|AB|=·=×=.故选C. 解析:设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),则c=1.因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A,B两点,且|AB|=3,所以=,b2=a2-c2,所以a=2,b2=a2-c2=4-1=3,椭圆的方程为 +=1.故选C. 3.(2023·四川遂宁模拟)已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A,B两点,且|AB|=3,则C的方程为(　 　) A.+y2=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 解析:如图,连接AF1,DF2,EF2,因为C的离心率为,所以=,所以a=2c. 所以b2=a2-c2=3c2,因为|AF1|=|AF2|=a=2c=|F1F2|, 所以△AF1F2为等边三角形,又DE⊥AF2,所以直线DE为线段AF2的垂直平分线,所以|AD|=|DF2|,|AE|=|EF2|,且∠EF1F2=30°,所以直线DE的方程为y=(x+c),代入椭圆C的方程 +=1,得13x2+8cx-32c2=0. 4.(2022·新高考Ⅰ卷)已知椭