第九章 第5节 椭圆及其简单几何性质-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教学课件PPT（旧教材，人教A版）

第5节　椭圆及其简单几何性质 [考试要求] 1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程. 2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率). 3.掌握椭圆的简单应用. 课前预习 巩固主干知识 1.椭圆的定义 平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于 (大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的 ,两焦点间的距离叫做椭圆的 . 集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中 a>0,c>0,且a,c为常数. (1)若a>c,则集合P为 . (2)若a=c,则集合P为 . (3)若a<c,则集合P为 . 常数 焦点 焦距 椭圆 线段 空集 2.椭圆的标准方程和几何性质 坐标轴 原点 [重要结论] 椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形.如图所示,设∠F1PF2=θ. (2)△PF1F2的周长为2(a+c). (3)|PF1|max=a+c,|PF1|min=a-c. (5)4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos θ. 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.(　　) (2)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.(　　) (3)方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆.(　　) × × √ √ D 2.(教材改编题)已知椭圆C:16x2+4y2=1,则下列结论正确的是(　 　) B B 课堂突破 提升素养能力 考点一　椭圆的定义及其应用 1.(2023·四川成都模拟)下列说法正确的是(　 　) A.已知F1(-4,0),F2(4,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 B.已知F1(-4,0),F2(4,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C.平面内到两点F1(-4,0),F2(4,0)的距离之和等于点M(5,3)到F1,F2的距离之和的点的轨迹是椭圆 D.平面内到点F1(-4,0),F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆 C C 答案:8 解析:根据椭圆的对称性及|PQ|=|F1F2|可以得到四边形PF1QF2为对角线相等的平行四边形,所以四边形PF1QF2为矩形.设|PF1|=m,则|PF2|=2a-|PF1|=8-m,则|PF1|2+|PF2|2=m2+(8-m)2=2m2+64-16m=|F1F2|2=4c2=4(a2-b2)=48,得m(8-m)=8,所以四边形PF1QF2的面积为|PF1|·|PF2|=m(8-m)=8. 1.椭圆定义的应用主要有:判断平面内动点的轨迹是否为椭圆,求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等. 2.与焦点三角形有关的计算或证明常将正弦定理、余弦定理和椭圆的定义结合使用,得到a,c的关系. 考点二　椭圆的标准方程 答案:(1)A　 根据条件求椭圆方程的主要方法 (1)定义法:根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义,要注意条件2a>|F1F2|. (2)待定系数法:先定形(焦点位置),再定量,根据题目所给的条件确定椭圆中的a,b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时,一般可设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),不必考虑焦点位置,用待定系数法求出m,n的值 即可. 答案:(1)C　 考点三　椭圆的几何性质 求椭圆离心率的方法 (2)构造含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助于b2=a2-c2消去b,转化为含有e的方程(或不等式)求解. 微点2　与椭圆几何性质有关的最值范围问题 利用椭圆几何性质求值域或范围的思路 (1)结合图形进行分析,将所求问题用椭圆上点的坐标表示,利用坐标范围构造函数或不等关系. (2)将所求范围用a,b,c表示,利用a,b,c自身的范围、关系求范围. 点击进入 课时作业 谢谢观赏 标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 图形 性 质 范围 -a≤x≤a, -b≤y≤b -b≤x≤b, -a≤y≤a 对称性 对称轴: ;对称中心: 顶点 A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a) ,B1(-b,0),B2(b,0) 离心率 e= ,且e∈(0,1) a,b,c的关系 c2=a2-b2 (1)=|PF1||PF2|sin θ=b2tan =c|y0|.当P为短轴端点时,θ最大, 最大,最大值为bc. (4)|PF1|·|PF2|≤()2=a