第八章 第7节 利用空间向量求空间角-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教学课件PPT（旧教材，人教A版）

第7节　利用空间向量求空间角 [考试要求] 1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算 问题. 2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用. 课前预习 巩固主干知识 1.异面直线所成的角 设a,b分别是两异面直线l1,l2的方向向量,则 2.求直线与平面所成的角 设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为θ,则 sin θ= = . |cos <a,n>| 3.求二面角的大小 (1)如图①,AB,CD是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的直线,则二面角的大 小θ= . (2)如图②③,n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足 |cos θ|= ,二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角). |cos <n1,n2>| [重要结论] 1.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值,即sin θ=|cos <a,n>|,不要误记为cos θ=|cos <a,n>|. 2.二面角与法向量的夹角:利用平面的法向量求二面角的大小时,当求出两个半平面α,β的法向量n1,n2时,要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向,来确定二面角与向量n1,n2的夹角是相等,还是互补. 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.(　　) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.(　　) (3)两个平面的法向量所成的角就是这两个平面所成的角.(　　) × × × √ B 3.(2023·云南昆明检测)过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD,若AB=PA,则平面ABP与平面CDP所成的二面角为　　　　.  答案:45° 课堂突破 提升素养能力 考点一　用空间向量求异面直线所成的角 B D 1.利用向量法求异面直线所成角的一般步骤 (1)选好基底或建立空间直角坐标系. (2)求出两直线的方向向量v1,v2. 考点二　用空间向量求线面角 (1)证明:BD⊥PA; (1)证明:如图所示,取AB中点为O,连接DO,CO,则OB=DC=1. 又DC∥OB,所以四边形DCBO为平行四边形. 又BC=OB=1,所以四边形DCBO为菱形,所以BD⊥CO. 同理可得,四边形DCOA为菱形,所以AD∥CO,所以BD⊥AD. 因为PD⊥底面ABCD,BD⊂底面ABCD,所以PD⊥BD, 又AD∩PD=D,AD,PD⊂平面ADP,所以BD⊥平面ADP. 因为PA⊂平面ADP,所以BD⊥PA. (2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值. 向量法求直线与平面所成角的主要方法 (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量,将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角); (2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角,取其余角就是斜线和平面所成的角. [素能演练1] (2020·新高考Ⅰ卷)如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l. (1)证明:l⊥平面PDC; (1)证明:因为PD⊥底面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以PD⊥AD. 又底面ABCD为正方形,所以AD⊥DC. 又PD∩DC=D,PD,DC⊂平面PDC,所以AD⊥平面PDC. 因为AD∥BC,AD⊄平面PBC,所以AD∥平面PBC. 又因为平面PAD与平面PBC的交线为l,且AD⊂平面PAD,所以l∥AD. 因此l⊥平面PDC. [素能演练1] (2020·新高考Ⅰ卷)如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l. (2)已知PD=AD=1,Q为l上的点,求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值. 考点三　利用空间向量求二面角 (1)求A到平面A1BC的距离; (2)设D为A1C的中点,AA1=AB,平面A1BC⊥平面ABB1A1,求二面角A-BD-C的正弦值. 利用空间向量计算二面角大小的常用方法 (1)用法向量求二面角:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角是锐二面角还是钝二面角. (2)找与棱垂直的方向向量:分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小. [素能演练2] (2021·新高考Ⅰ卷)如图,在三棱锥A-BCD中,平面ABD⊥平面BCD, AB=AD,O为BD的中点. (1)证明:OA⊥CD;