第八章 第6节 空间向量的运算及应用-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教学课件PPT（旧教材，人教A版）

第6节　空间向量的运算及应用 [考试要求] 1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能用向量的数量积判断向量的共线和垂直. 4.理解直线的方向向量及平面的法向量,能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理. 课前预习 巩固主干知识 1.空间向量及其有关概念 (1)空间向量的有关概念. 0 名称 概念 表示 零向量 长度为 的向量 0 单位向量 模为 的向量 相等向量 方向 且模 的向量 . 相反向量 方向 且模 的向量 a的相反向量-a 共线向量 (平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相 的向量 . 共面向量 平行于同一个 的向量 1 相同 相等 相反 相等 平行或重合 平面 a=b a∥b 基底 (2)空间向量中的有关结论. ①对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使得a=λb. ②如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb. ③空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc.{a,b,c}叫做空间的一个 . 2.空间向量的数量积及坐标运算 (1)两个非零空间向量的数量积. ①a·b= . ②a⊥b⇔ . ③设a=(x,y,z),则a2=|a|2,|a|= . |a||b|cos<a,b> a·b=0 (2)空间向量运算的坐标表示. a1b1+a2b2+a3b3 a1b1+a2b2+a3b3=0 3.空间位置关系的向量表示 (1)直线的方向向量:如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合,则称此向量a为直线l的方向向量. (2)平面的法向量:直线l⊥α,取直线l的方向向量a,则向量a叫做平面α的法向量. (3) 位置关系 向量表示 直线l1,l2的方向向量分别为n1,n2 l1∥l2 n1∥n2⇔n1=λn2(λ∈R) l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2=0 直线l的方向向量为n,平面α的法向量为m,l⊄α l∥α n⊥m⇔n·m=0 l⊥α n∥m⇔n=λm(λ∈R) 平面α,β的法向量分别为n,m α∥β n∥m⇔n=λm(λ∈R) α⊥β n⊥m⇔n·m=0 [重要结论] 证明空间任意三点共线的方法 对空间三点P,A,B可通过证明下列结论成立来证明三点共线: 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)直线的方向向量是唯一确定的.(　　) (2)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行,则a∥α.(　　) (3)若{a,b,c}是空间的一个基底,则a,b,c中至多有一个零向量.(　　) (4)若a·b<0,则<a,b>是钝角.(　　) × × × × A D D 课堂突破 提升素养能力 考点一　空间向量的线性运算 B D 用基向量表示指定向量的方法 (1)结合已知向量和所求向量观察图形. (2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中. (3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知向量表示出来. 考点二　共线向量、共面向量的应用 (2)判断点M是否在平面ABC内. 证明空间四点P,M,A,B共面的方法 答案:(1)③④ 答案:(2)∈ 考点三　空间向量的数量积及其应用 (2)异面直线AG与CE所成角的余弦值. 空间向量数量积的三个应用 (2)运用公式|a|2=a·a,可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算 问题. (3)利用a⊥b⇔a·b=0(a≠0,b≠0),可将垂直问题转化为向量数量积的计算 问题. [素能演练2] 如图所示,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面为平行四边形,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60°. (1)求AC1的长; [素能演练2] 如图所示,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面为平行四边形,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60°. (2)求证:AC1⊥BD; [素能演练2] 如图所示,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面为平行四边形,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60°. (3)求BD1与AC夹角的余弦值. 考点四　利用空间向量证明平行、垂直 (1)求证:EF∥平面A1B1BA; (2)求证:平面AEA1⊥平面BCB1. 1.利用空间向量证明垂