第十一章 第6节 离散型随机变量及其分布列-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第6节　离散型随机变量及其分布列 [考试要求] 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,了解分布列对于刻画随机现象的重要性. 2.理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的应用. 1.离散型随机变量的概念与分布列 (1)随机变量:随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量.通常用大写字母X,Y,Z(或小写希腊字母ξ,η)等表示,而用小写字母x,y,z(加上适当下标)等表示随机变量的可能取值.所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量. (2)离散型随机变量的分布列:若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,以表格的形式如表所示: X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 将上表称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列.有时为了表达简单,也用等式P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n表示X的分布列. (3)离散型随机变量的分布列的性质:①pi≥0,i=1,2,…,n;②pi=1. 2.两点分布和超几何分布 (1)两点分布的分布列. X 0 1 P 1-p p (2)超几何分布概念与分布列. 其基本模型为“一般地,在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则P(X=k)=,k=0,1,2,…,m,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*”,则称随机变量X的分布列 X 0 1 … m P … 为超几何分布列,如果随机变量X的分布列为超几何分布列,则称随机变量X服从超几何分布. 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)抛掷一枚质地均匀的硬币,出现正面的次数是随机变量.(　　) (2)从4名男演员和3名女演员中选出4人,其中女演员的人数X服从超几何分布.(　　) (3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.(　　) (4)如果给出的随机变量X的分布列如表所示, X 2 5 P 0.3 0.7 则它服从两点分布.(　　) 答案:(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2.(教材改编题)设随机变量X的分布列如表,则p为(　C　) X 1 2 3 4 5 P p A. B. C. D. 解析:由分布列的性质知,++++p=1,所以p=1-=.故选C. 3.(2023·云南临沧模拟)袋中有大小相同的5个球,分别标有1,2,3,4,5五个号码,不放回地任意抽取2个球,设2个球号码之和为X,则X的所有可能取值的个数为(　C　) A.25 B.10 C.7 D.6 解析:X的可能取值为1+2=3,1+3=4,1+4=5=2+3,1+5=6=2+4,2+5=7=3+4,3+5=8,4+5=9,共7种可能取值.故选C. 4.(2023·河南上蔡模拟)在含有3件次品的50件产品中,任取2件,则至少取到1件次品的概率为(　D　) A. B. C. D. 解析:在含有3件次品的50件产品中,任取2件,则至少取到1件次品的概率为P=.故选D. 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 考点一　离散型随机变量分布列的性质 1.设X是一个离散型随机变量,其分布列如表,则q等于(　D　) X -1 0 1 P 1-q q-q2 A.1 B.或- C.1+ D. 解析:由离散型随机变量分布列的性质, 得解得q=.故选D. 2.设随机变量X的分布列为P(X=k)=,k=1,2,3,C为常数,则P(X<3)=　　　　.  解析:随机变量X的分布列为P(X=k)=,k=1,2,3,所以++=1,解得C=,所以P(X<3)=P(X=1)+P(X=2)=(+)=. 答案: 3.随机变量X的分布列为 X -1 0 1 P a b c 其中a,b,c成等差数列,则P(|X|=1)=　　　　,公差d的取值范围是　　　　.  解析:因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c.又 a+b+c=1,所以b=,所以P(|X|=1)=a+c=.又a=-d,c=+d,根据分布列的性质,得0≤-d≤,0≤+d≤,所以-≤d≤. 答案:　[-,] 离散型随机变量的分布列性质的应用 (1)利用“总概率之和为1”,可以求相关参数的取值范围或值. (2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”,求某些特定事件的概率. (3)可以根据离散型随机变量的分布列的性质判断所得分布列结果是否正确. 考点二　离散型随机变量的分布列 [例1] 已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后