第三章 压轴专攻(四) 极值点偏移问题-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

压轴专攻(四)　极值点偏移问题

极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样,导致函数图象不具有对称性,极值点偏移问题常常出现在高考数学的压轴题中,这类题往往对思维要求较高,过程较为烦琐,计算量较大,解决极值点偏移问题,有构造对称函数法和比值代换法等.

考点一　对称构造法求极值点偏移问题

[例1] (2023·江苏启东模拟)已知函数f(x)=aex-x,a∈R.若f(x)有两个不同的零点x1,x2.证明:x1+x2>2.

证明:由f(x)=0得-a=0,令g(x)=-a,则g′(x)=,当x∈(-∞,1)时,g′(x)>0,g(x)单调递增;当x∈(1,+∞)时,g′(x)<0,g(x) 单调递减,不妨设x1<1<x2,要证x1+x2>2,只要证x2>2-x1>1.

由于g(x)在(1,+∞)上单调递减,故只要证g(x2)<g(2-x1),由于g(x1)=g(x2)=0,故只要证g(x1)<g(2-x1),

令H(x)=g(x)-g(2-x)=-(x<1),则H′(x)=-=,

因为x<1,所以1-x>0,2-x>x,所以e2-x-ex>0,所以H′(x)>0,所以H(x)在(-∞,1)上单调递增.

因为x1<1,所以H(x1)<H(1)=0,即有g(x1)<g(2-x1)成立,即g(x2)<g(2-x1),所以x1+x2>2.

[例2] (2023·黑龙江鹤岗一中模拟)已知函数f(x)=x++2ln x-a(a∈R)有两个不同的零点x1,x2,求证:x1x2>1.

证明:由题意,f(x)的定义域为(0,+∞),

f′(x)=1-+==.

当x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;

当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.

假设0<x1<1<x2,要证明x1x2>1,即证明x1>,只需证f(x1)<f(),

又f(x1)=f(x2),所以只需证f(x2)<f(),

构造函数g(x)=f(x)-f()(x>1).

g(x)=-2x+4ln x,所以g′(x)=<0,所以g(x)在(1,+∞)上单调递减.

因为x2>1,所以g(x2)<g(1)=0,即f(x2)<f()成立,即f(x1)<f(),所以原命题成立.

对称变换求极值点偏移的步骤

第一步:求导,获得f(x)的单调性和极值情况,作出f(x)的图象,由f(x1)=f(x2)得x1,x2的取值范围;

第二步:构造辅助函数(对结论x1+x2>2x0或x1+x2<2x0,构造F(x)=f(x)-f(2x0-x);对结论x1x2>或x1x2<,构造F(x)=f(x)-f()),求导,限定范围(x1或x2的范围),判定符号,获得不等式;

第三步:代入x1(或x2),利用f(x1)=f(x2)及f(x)的单调性证明最终结论.

[素能演练1] (2023·山东青岛二中模拟)已知函数f(x)=(x-1)ex-a,a∈R.

(1)若函数f(x)有两个零点,求a的取值范围;

(2)设x1,x2是函数f(x)的两个零点,证明:x1+x2<0.

(1)解:由f(x)=0得a=(x-1)ex,令g(x)=(x-1)ex,因为g′(x)=xex,

由g′(x)>0得x>0,所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,由g′(x)<0得x<0,所以函数g(x)在(-∞,0)上单调递减,

所以当x=0时,函数g(x)取到极小值同时也是最小值,g(x)min=g(0)=-1,

当x→+∞时,g(x)→+∞,当x→-∞时,g(x)→0,且g(x)<0,则要使a=g(x)有两个不同的解,

则-1<a<0,即当-1<a<0时,函数f(x)有两个零点.

(2)证明:因为x1,x2是函数f(x)的两个零点,所以由(1)可知x1x2<0,且f(x1)=f(x2)=0,不妨设x1<0,x2>0,则-x2<0,

令F(x)=f(x)-f(-x)=(x-1)ex+(1+x)e-x(x<0),则F′(x)=x(ex-e-x),

当x<0时,F′(x)>0,此时F(x)在(-∞,0)上单调递增,所以F(x)<F(0)=0,

即f(x)<f(-x),