第六章 第1节 数列的概念与简单表示法-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第1节　数列的概念与简单表示法 [考试要求] 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表法、图象法、通项公式法). 2.了解数列是自变量为正整数的一类函数. 1.数列的概念及分类 (1)定义. 数列 按照一定顺序排列的一列数 项 数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列中排在第一位的数称为这个数列的第1项,常用符号a1表示,排在第二位的数称为这个数列的第2项,用a2表示……排在第n位的数称为这个数列的第n项,用an表示.其中第1项也叫做首项 表示 a1,a2,a3,…,an,…,简记为{an} (2)分类. ①项数有限的数列叫做有穷数列,项数无限的数列叫做无穷数列. ②从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列;从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列.特别地,各项相等的数列叫做常数列. (3)数列与函数. 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2,…,n})到实数集R的函数,其自变量是序号n,对应的函数值是数列的第n项an,记为an=f(n).另一方面,对于函数y=f(x),如果f(n)(n∈N*)有意义,那么f(1),f(2),…,f(n),…构成了一个数列{f(n)}. (4)数列的表示法. 数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和通项公式法. 2.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.通项公式就是数列的函数解析式,根据通项公式可以写出数列的各项. 3.数列的递推公式与前n项和公式 递推 公式 一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,这个式子叫做这个数列的递推公式 前n项 和定义 数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn,即Sn=a1+a2+…+an 前n项 和公式 数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,这个式子叫做这个数列的前n项和公式 4.数列中an与Sn的关系 若数列{an}的前n项和为Sn, 则an= 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.(　　) (2)1,1,1,1,…,不能构成一个数列.(　　) (3)任何一个数列都有唯一的通项公式.(　　) (4)如果数列{an}的前n项和为Sn,则对任意n∈N*,都有an+1=Sn+1-Sn.(　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2.(教材改编题) 已知数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n,则数列{an}的通项公式an=　　　　.  解析:a1=S1=2-3=-1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5,因为a1=-1也适合上式,所以an=4n-5. 答案:4n-5 3.(2023·成都七中模拟预测)已知an=n2+λn,且对于任意的n∈N*,数列{an}是递增数列,则实数λ的取值范围是　　　　　.  解析:因为{an}是递增数列,所以对任意的n∈N*,都有an+1>an,即(n+1)2+λ(n+1)>n2+λn,整理得2n+1+λ>0,即λ>-(2n+1)恒成立.因为n≥1,所以-(2n+1)≤-3,所以λ>-3. 答案:(-3,+∞) 4.(2020·浙江卷)我国古代数学家杨辉、朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题,如数列{}就是二阶等差数列.数列{}(n∈N*)的前3项和是　　　　.  解析:法一　因为an=,所以S3=a1+a2+a3=1+3+6=10. 法二　因为an==+,所以Sn=+=,所以S3==10. 答案:10 考点一　由an与Sn的关系求通项 [例1] (1)(2023·贵州黔西南州同源中学模拟)数列{an}的前n项和Sn=2n-3,则此数列的通项公式an=　　　　　.  (2)已知数列{an}满足a1+2a2+22a3+…+2n-1an=,n∈N*,求数列{an}的通项公式. (1)解析:因为数列{an}的前n项和Sn=2n-3,当n=1时,a1=S1=2-3=-1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-3-(2n-1-3)=2n-1,当n=1时,不适合上式.所以an= 答案: (2)解:因为a1+2a2+22a3+…+2n-1an=,① 所以当n≥2时,a1+2a2+22a3+…+2n-2an-1=,② ①-②得,2n-1an=,所以an=(n≥2),③ 又a1=,也适合③式,所以an=(n∈N*). 1.已知Sn求an注意检验n=1时的表达式是否可以与n≥2时的表达式合并. 2.Sn与an关系问题的求解思路 根据所求结果的不同要求,将问题向不同的两个方向转化.