第九章 压轴专攻(五) 圆锥曲线中的最值、范围问题-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

压轴专攻(五)　圆锥曲线中的最值、范围问题 圆锥曲线中的最值、范围问题求解常用的三种方法: (1)不等关系法,根据题意建立含参数的不等式,通过解不等式求参数的最值范围. (2)基本不等式法,根据题意将函数变形为两项和或积的形式,利用基本不等式求最值范围. (3)函数法,用其他变量表示该参数,建立函数关系,利用函数的单调性求解. 考点一　不等关系法 [例1] (2023·福建三明一中模拟预测)已知椭圆的一个顶点A(0,-1),焦点在x轴上,离心率为. (1)求椭圆的标准方程; (2)设直线y=kx+m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M,N.当|AM|=|AN|时,求m的取值范围. [解题指导] 解:(1)设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),联立解得 故椭圆的标准方程为+y2=1. (2)设P(x0,y0)为弦MN的中点,M(x1,y1),N(x2,y2).联立得(4k2+1)x2+8kmx+4(m2-1)=0, 则x1+x2=,x1x2=,Δ=(8km)2-16(4k2+1)(m2-1)>0,所以m2<1+4k2,① 所以x0==-,y0=kx0+m=.所以kAP==-.又|AM|=|AN|,所以AP⊥MN,则-=-,即3m=4k2+1.② 把②代入①得m2<3m,解得0<m<3.由②得k2=>0,解得m>. 综上可知,m的取值范围为(,3). 寻找不等关系的突破口 (1)利用判别式来构造不等式,从而确定所求范围. (2)利用已知参数的取值范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系. (3)利用隐含的不等关系,从而求出所求范围. (4)利用已知不等关系构造不等式,从而求出所求范围. [素能演练1] (2023·河北石家庄二中模拟预测)已知双曲线的焦点在x轴上,中心在原点,离心率为,且过点(,1). (1)求双曲线的标准方程; (2)双曲线的左、右顶点为A,B,且动点C(m,n),D(m,-n)在双曲线上,直线BC与直线AD交于点P,M(-,0),N(,0),求·的取值范围. 解:(1)设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),联立得a2=3,b2=1, 所以双曲线的标准方程为-y2=1. (2)已知C(m,n),D(m,-n),A(-,0),B(,0).当m=±时,动点P与点A,B重合,此时·=1; 当m≠±时,直线AD:y=(x+),直线BC:y=(x-),联立两直线方程得y2=(x2-3).又因为-n2=1,即-3n2=3-m2,所以y2=-(x2-3),即动点P的轨迹方程为+y2=1,其形状为椭圆. 又·=(+)·(+)=(+)(-)=||2-||2=||2-2,且由点P的轨迹方程可知PO∈(1,],所以·∈(-1,1].综上可得,·的取值范围为(-1,1]. 考点二　基本不等式法 [例2] (2022·全国甲卷)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点D(p,0),过F的直线交C于M,N两点.当直线MD垂直于x轴时,|MF|=3. (1)求C的方程; (2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A,B,记直线MN,AB的倾斜角分别为α,β.当α-β取得最大值时,求直线AB的方程. 解:(1)当MD⊥x轴时,有|MF|=+p=3,得p=2, 所以抛物线C的方程为y2=4x. (2)如图,根据(1)知F(1,0),D(2,0). 当MN⊥x轴时,易得α=β=,此时α-β=0. 当MN的斜率存在时,设M(x1,y1),N(x2,y2),A(x3,y3),B(x4,y4), 则直线MN的方程为y-y1=(x-x1), 即y-y1=(x-x1)=(x-x1), 即y(y1+y2)-y1(y1+y2)=4(x-x1), 所以直线MN的方程为y(y1+y2)-y1y2=4x. 同理可得,直线AM的方程为y(y3+y1)-y3y1=4x,直线BN的方程为y(y4+y2)-y4y2=4x,直线AB的方程为y(y4+y3)-y4y3=4x. 因为F(1,0)在直线MN上,所以y1y2=-4. 因为D(2,0)在直线AM,BN上,所以y3y1=-8, y4y2=-8, 所以y3=-,y4=-. 所以y3+y4=--=-=-=2(y1+y2),y3y4===-16, 所以直线AB的方程y(y4+y3)-y4y3=4x可化为(y1+y2)y+8=2x, 所以tan α=,tan β=, 所以tan (α-β)===2×. 当y2+y1<0时,tan(α-β)<0,所以不符合题意. 当y2+y1>0时,(y2+y1)+≥4, tan(α-β)≤2×=, 当且仅当y2+y1=,即y2+y1=2时,取等号, 此时α-β取得最大值,直线AB的方程为x-y-4=0. 构造基本不等式求最值的步骤 [素能演练2]