第九章 压轴专攻(七) 圆锥曲线中的定点问题-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

压轴专攻(七)　圆锥曲线中的定点问题 处理圆锥曲线中定点问题的方法: (1)探索直线过定点时,可设出直线方程为y=kx+m,然后利用条件建立k,m的等量关系进行消元,借助于直线系的思想找出定点. (2)从特殊情况入手,先探求定点,再证明与变量无关. 考点一　参数法求证定点 [例1] (2022·山东临沂枣庄二模联考)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,其左、右焦点分别为F1,F2,点P为坐标平面内的一点,且||=,·=-,O为坐标原点. (1)求椭圆C的方程; (2)设M为椭圆C的左顶点,A,B是椭圆C上两个不同的点,直线MA,MB的倾斜角分别为α,β,且α+β=.证明:直线AB恒过定点,并求出该定点的坐标. [解题指导] (1)解:设P点坐标为(x0,y0),F1(-c,0),F2(c,0),则=(-c-x0,-y0),=(c-x0,-y0). 由题意得解得c2=3,所以c=.又e==,所以a=2,所以b2=a2-c2=1. 所以所求椭圆C的方程为+y2=1. (2)证明:由(1)知M(-2,0),设直线AB的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2). 联立方程组消去y, 得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0. 则Δ=16(4k2-m2+1)>0, 所以x1+x2=-,x1x2=. 又α+β=,所以tan α·tan β=1, 设直线MA,MB的斜率分别为k1,k2,则k1k2=1,所以·=1,即(x1+2)(x2+2)=y1y2. 所以(x1+2)(x2+2)=(kx1+m)(kx2+m),所以(k2-1)x1x2+(km-2)(x1+x2)+m2-4=0, 所以(k2-1)+(km-2)(-)+m2-4=0,化简得20k2-16km+3m2=0,解得m=2k或m=k. 当m=2k时,y=kx+2k,过定点(-2,0),不符合题意(舍去). 当m=k时,y=kx+k,过定点(-,0),符合题意. 所以直线AB恒过定点(-,0). 圆锥曲线中定点问题的引进参数法 引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点. [素能演练1] (2020·全国Ⅰ卷)已知A,B分别为椭圆E:+y2=1(a>1)的左、右顶点,G为E的上顶点,·=8.P为直线x=6上的动点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D. (1)求E的方程; (2)证明:直线CD过定点. (1)解:由题设得A(-a,0),B(a,0),G(0,1). 则=(a,1),=(a,-1). 由·=8,得a2-1=8,即a=3. 所以E的方程为+y2=1. (2)证明:设C(x1,y1),D(x2,y2),P(6,t), 若t≠0,设直线CD的方程为x=my+n, 由题意可知-3<n<3. 由于直线PA的方程为y=(x+3), 所以y1=(x1+3). 直线PB的方程为y=(x-3), 所以y2=(x2-3). 可得3y1(x2-3)=y2(x1+3). 由于+=1,故=-, 可得27y1y2=-(x1+3)(x2+3), 即(27+m2)y1y2+m(n+3)(y1+y2)+(n+3)2=0.① 将x=my+n代入+y2=1, 得(m2+9)y2+2mny+n2-9=0. 所以y1+y2=-,y1y2=. 代入①式, 得(27+m2)(n2-9)-2m(n+3)mn+(n+3)2(m2+9)=0. 解得n=-3(舍去)或n=. 故直线CD的方程为x=my+, 即直线CD过定点(,0). 若t=0,则直线CD的方程为y=0,过点(,0). 综上,直线CD过定点(,0). 考点二　先求后证法求证定点 [例2] (2022·全国乙卷)已知椭圆E的中心为坐标原点,对称轴为x轴、y轴,且过A(0,-2),B(,-1)两点. (1)求E的方程; (2)设过点P(1,-2)的直线交E于M,N两点,过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T,点H满足 =.证明:直线HN过定点. (1)解:因为椭圆E的中心为坐标原点,对称轴为x轴,y轴,且过A(0,-2), 所以可设椭圆E的方程为+=1, 又椭圆E过点B(,-1),所以+=1,得a2=3, 所以E的方程为+=1. (2)证明:当直线MN的斜率不存在时,直线lMN:x=1, 由得 y2=,所以y=±. 结合题意可知M(1,-),N(1,), 所以过M且平行于x轴的直线的方程为y=-. 易知点T的横坐标xT∈[0,],直线AB的方程为y-(-2)=×(x-0), 即y=x-2, 由得xT=3-, 所以T(3-,-). 因为=,所以H(5-2,-), 直线lHN:y-=(x-1), 即y=x-2. 当直线MN的斜率存在时, 如图,设M(x1,y1),N(x2,y2)