第九章 压轴专攻(六) 圆锥曲线中的定值问题-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

压轴专攻(六)　圆锥曲线中的定值问题 处理圆锥曲线中定值问题的方法: (1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关. (2)直接推理、计算,并在计算、推理的过程中消去变量,从而得到 定值. 考点一　证明某些几何量为定值 [例1] (2023·广东模拟预测)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为2,右顶点D到一条渐近线的距离为. (1)求双曲线C的方程; (2)若直线l与双曲线C交于A,B两点,且·=0,O为坐标原点,点O到直线l的距离是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由. [解题指导] (1)设渐近线方程→点D到渐近线距离列方程→双曲线的离心率→求得a,b→双曲线C的方程. (2)考虑直线斜率不存在和为0时→点O到直线l的距离→设直线方程并与双曲线方程联立→根与系数关系→·=0列方程→点到直线的距离公式→求得O点到直线l的距离. 解:(1)由题意,得双曲线C的渐近线方程为y=±x,右顶点为D(a,0).又a2+b2=c2, 且===,e==2,所以=,故b=.又a2+3=4a2,解得a2=1, 所以双曲线C的方程为x2-=1. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2). 当直线l和坐标轴平行时,|x1|=|y1|,|x2|=|y2|,解得|x1|=|y1|=|x2|=|y2|=,所以点O到直线l的距离为. 当直线l和坐标轴不平行时,设直线l的方程为 x=my+t,由得(3m2-1)y2+6mty+3t2-3=0, Δ=(6mt)2-4(3m2-1)(3t2-3)=12(3m2+t2-1)>0,所以y1+y2=,y1y2=. 又x1=my1+t,x2=my2+t,所以·=x1x2+y1y2=(my1+t)(my2+t)+y1y2=(m2+1)y1y2+mt(y1+y2)+t2=0, 得=0,解得2t2=3m2+3.又点O到直线l的距离为d=,则d2==,故d=. 综上所述,点O到直线l的距离为定值. 参数法解决圆锥曲线中定值问题的一般步骤 [素能演练1] (2023·黑龙江哈尔滨九中模拟)已知直线l:x+4=0,M为平面内一动点,过点M作直线l的垂线,垂足为N,且·=0(O为坐标原点). (1)求动点M的轨迹E的方程; (2)已知点P(0,2),直线y=x+t(t>0)与曲线E交于A,B两点,直线PA,PB与曲线E的另一交点分别是点C,D,证明:直线CD的斜率为定值. (1)解:设M(x,y),则N(-4,y),则=(x,y),=(-4,y),所以·=-4x+y2=0,则E的方程为y2=4x. (2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),联立得y2-4y+4t=0,则Δ=16-16t>0,即0<t<1, 且y1+y2=4,y1y2=4t,又直线PA为y=x+2,联立得(y1-2)y2-y+2=0, 由根与系数的关系得y1y3=,所以y3=,同理得y4=. 则kCD=======1,故直线CD的斜率为定值,得证. 考点二　证明某些代数式为定值 [例2] (2022·山东泰安三模)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率e=,四个顶点组成的菱形面积为8,O为坐标原点. (1)求椭圆E的方程; (2)过☉O:x2+y2=上任意一点P作☉O的切线l与椭圆E交于点M,N,求证:·为定值. [解题指导] (1)解:由题意得2ab=8,e==,a2=b2+c2,可得a=2,b=2, 所以椭圆E的标准方程为+=1. (2)证明:当切线l的斜率不存在时,其方程为x=±, 当x=时,将x=代入椭圆方程+=1得y=±, 所以M(,),N(,-),P(,0),=(0,),=(0,-),所以·=-, 当x=-时,同理可得·=-. 当切线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+m,M(x1,y1),N(x2,y2),因为l与☉O相切, 所以=,所以3m2=8k2+8, 由得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,其中Δ=(4km)2-4(1+2k2)(2m2-8)>0,即8k2-m2+4>0,所以x1+x2=-,x1x2=, 所以·=(-)·(-)=-·-·+· =--+·=-+·, ·=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2 =(1+k2)+km(-)+m2==0.所以·=-. 综上,·为定值-. 圆锥曲线中的定值问题的常见处理技巧 (1)在运算过程中,尽量减少所求表达式中变量的个数,以便于向定值靠拢. (2)巧妙利用变量间的关系,例如点的坐标符号曲线方程等,尽量做到整体代入,简化运算. [素能演练2] (2023·河南洛阳模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0),其焦点为F,O为坐标原点,直线l