第九章 压轴专攻(八) 圆锥曲线中的证明、探索性问题-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

压轴专攻(八)　圆锥曲线中的证明、探索性问题 　　圆锥曲线中的证明问题常见的有数量关系方面和位置关系方面的证明,其常用方法有直接法和转化法,有时也会用反证法,探索性问题的求解中要注意:(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论;(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件;(3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要开放思维,采取另外合适的方法. 考点一　数量关系的证明 [例1] (2023·山东潍坊模拟预测)已知顶点是坐标原点的抛物线Γ的焦点F在y轴正半轴上,圆心在直线y=x上的圆E与x轴相切,且点E,F关于点M(-1,0)对称. (1)求E和Γ的标准方程; (2)过点M的直线l与圆E交于A,B两点,与Γ交于C,D两点,求证:|CD|>|AB|. [解题指导] (1)解:设Γ的标准方程为x2=2py(p>0),则F(0,).已知点E在直线y=x上,故可设E(2a,a). 因为E,F关于M(-1,0)对称,所以解得所以抛物线Γ的标准方程为x2=4y. 因为圆E与x轴相切,故半径r=|a|=1,所以圆E的标准方程为(x+2)2+(y+1)2=1. (2)证明:由题意知,直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,那么其方程为y=k(x+1)(k≠0). 则E(-2,-1)到直线l的距离d=,因为直线l与E交于A,B两点,所以d2<r2,即<1,解得k>0, 所以|AB|=2=2. 由消去y并整理,得x2-4kx-4k=0.Δ=16k2+16k>0恒成立, 设C(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=-4k,那么|CD|=|x1-x2|=·=4·. 所以==>=2.所以|CD|2>2|AB|2,即|CD|>|AB|,得证. 解决此类问题,一般方法是“设而不求”,通过“设参、用参、消参”的推理及运算,借助几何直观地达到证明的目的. [素能演练1] (2022·华南师大附中三模)已知椭圆+=1(a>b>0)过点(2,),离心率为. (1)求椭圆的方程; (2)过点P(0,1)作椭圆的两条弦AB,CD(A,C分别位于第一、二象限).若AD,BC与直线y=1分别交于点M,N.求证:|PM|=|PN|. (1)解:因为椭圆+=1过点(2,),则+=1,又e==,则c2=.又a2=b2+c2, 所以联立上述式子,解得a2=8,b2=4,故椭圆的方程为+=1. (2)证明:由题意,可设直线AB:y=k1x+1,CD:y=k2x+1, A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),点M,N的横坐标为xM,xN, 将直线AB的方程代入椭圆+=1,整理得(1+2)x2+4k1x-6=0,而Δ=64+24>0, 所以x1+x2=-,x1x2=-, 同理得x3+x4=-,x3x4=-, 因为=(xM-x1,1-y1),=(xM-x4,1-y4),且三点A,M,D共线, 所以(xM-x1)(1-y4)-(xM-x4)(1-y1)=0,将y1-1=k1x1,y4-1=k2x4代入并整理可得(k2x4-k1x1)xM=(k2-k1)x1x4, 又y1≠y4,即k2x4-k1x1≠0,所以xM=,同理得xN=, 所以xM+xN=+= = =0,所以xM=-xN,|xM|=|xN|,故|PM|=|PN|,得证. 考点二　位置关系的证明 [例2] (2021·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C的方程为+=1(a>b>0),右焦点为F(,0),且离心率为. (1)求椭圆C的方程; (2)设M,N是椭圆C上的两点,直线MN与曲线x2+y2=b2(x>0)相切.证明:M,N,F三点共线的充要条件是|MN|=. (1)解:由题意,椭圆半焦距c=,且e==, 所以a=, 又b2=a2-c2=1,所以椭圆方程为+y2=1. (2)证明:由(1)得,曲线为x2+y2=1(x>0), 当直线MN的斜率不存在时,直线MN:x=1,不符合题意; 当直线MN的斜率存在时,设M(x1,y1),N(x2,y2), 必要性:若M,N,F三点共线,可设直线MN:y=k(x-), 即kx-y-k=0, 由直线MN与曲线x2+y2=1(x>0)相切可得 =1,解得k=±1,联立 可得4x2-6x+3=0, 所以x1+x2=,x1x2=, 所以|MN|=·=, 所以必要性成立; 充分性:设直线MN:y=kx+b(kb<0), 即kx-y+b=0, 由直线MN与曲线x2+y2=1(x>0)相切可得=1,所以b2=k2+1, 联立可得(1+3k2)x2+6kbx+3b2-3=0, 所以x1+x2=-,x1x2=, 所以|MN|=· = =·=, 化简得3(k2-1)2=0,所以k=±1, 所以或 所以直线MN:y=x-或y=-x+, 所以直线MN过点