第九章 培优课(五) 圆锥曲线压轴小题突破-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

培优课(五)　圆锥曲线压轴小题突破 　　高考中以圆锥曲线作为选择题或填空题的压轴的情形比较常见,其问题主要包括:①求标准方程;②定义与几何性质的运动;③离心率的值或取值范围;④最值问题等几种类型.且常与其他模块知识交汇综合考查. 类型一　圆锥曲线与平面向量、圆的知识的交汇问题 [例1] (1)(2023·四川成都名校联考)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别是 F1(-c,0),F2(c,0),点P是椭圆C上一点,满足|+|=|-|,若以点P为圆心,r为半径的圆与圆F1:(x+c)2+y2=4a2,圆F2:(x-c)2+y2=a2都内切,其中0<r<a,则椭圆C的离心率为(　　) A. B. C. D. (2)已知O为坐标原点,双曲线C:x2-=1的右焦点为F,直线l过点F且与C的右支交于M,N两点,若+=2,·=8,则直线l的斜率k为(　　) A.±2 B.± C.±2 D.±3 (3)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,倾斜角为θ(0<θ<)的直线l经过抛物线的焦点F,且与抛物线相交于M,N两点.若·=-2,则sin 2θ等于(　　) A. B. C. D. 解析:(1)由|+|=|-|两边平方,可得·=0, 则⊥,由已知得 即|PF1|-|PF2|=a,由|PF1|+|PF2|=2a,得 在Rt△PF1F2中,由|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,得+=4c2,即e2==,所以e=.故选C. (2)设M(x1,y1),N(x2,y2),A(x0,y0),由题意可知F(2,0),A是线段MN的中点,·=2x0=8,所以x0=4, 因为M,N分别是双曲线右支上的点, 所以 两式相减并整理得 (x1+x2)(x1-x2)-=0, 所以2x0-=0,即4-=0, 又k=kAF==, 所以y0=±2, 所以k=±.经检验,符合题意.故选B. (3)如图所示,过点M,N分别作准线的垂线,垂足分别为D,C,直线l与准线交于点E, 由题意可得||=2||,设|FN|=x,则|FM|=2x,由抛物线的定义可知, |CN|=x,|MD|=2x,==,所以|EN|=3x, 在△ENC中,cos ∠ENC===cos θ, 所以sin θ=, 则sin 2θ=2sin θcos θ=.故选D. 高考对圆锥曲线的考查,经常出现一些与其他知识交汇的题目,如与平面向量交汇、与三角函数交汇、与不等式交汇、与导数交汇等等,这些问题的实质是圆锥曲线问题. [对点训练1] (1)已知P是椭圆C:+=1上的动点,且与C的四个顶点不重合,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,若点M在∠F1PF2的平分线上,且·=0,则|OM|的取值范围是(　　) A.(0,2) B.(0,2) C.(0,3-2) D.(0,1) (2)(2023·广东深圳模拟)F1,F2分别为双曲线C:x2-=1的左、右焦点,过F1的直线l与C的左、右两支曲线分别交于A,B两点,若l⊥F2B,则·等于(　　) A.4-2 B.4+ C.6-2 D.6+2 (3)过点(2,0)的直线l分别与圆x2+y2-4x+3=0及抛物线y2=8x依次交于E,F,G,H四点,则|EF|+|GH|的最小值为　　　　.  解析:(1)如图,直线F1M与直线PF2相交于点N,由于PM是∠F1PF2的平分线,且·=0,即PM⊥F1N, 所以三角形F1PN是等腰三角形,所以PF1=PN,点M为线段F1N中点, 因为O为F1F2的中点,所以OM是三角形F1F2N的中位线, 所以|OM|=|F2N|,其中|F2N|=|PF1|-|PF2|=2|PF1|-2a=2|PF1|-6, 因为P与C的四个顶点不重合, 设P(m,n), 则|m|∈(0,3),+=1, 则|PF1|===|m+9|, 所以|PF1|∈(3,4), 又|F2N|>0, 所以|F2N|∈(0,2),又|OM|=|F2N|. 所以|OM|的取值范围是(0,1).故选D. (2)在双曲线C中,a=1,b=,c=,则F1(-,0),F2(,0), 因为直线l过点F1,由图知,直线l的斜率存在且不为零, 因为l⊥F2B, 则△F1BF2为直角三角形,可得 |BF1|2+|BF2|2=|F1F2|2=12, 由双曲线的定义可得 |BF1|-|BF2|=2, 所以4=(|BF1|-|BF2|)2=|BF1|2+|BF2|2-2|BF1|·|BF2|=12-2|BF1|·|BF2|, 可得|BF1|·|BF2|=4, 联立解得|BF2|=-1, 因此·=(+)·=+·=(-1)2=6-2.故选C. (3)由已知可得点(2,0)为圆(x-2)2+y2=1的圆心和抛物线y2=8x的焦点, 当直线l的斜率不存在时,其方程为x=2,可得 E(2,4),