第九章 第8节 抛物线-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第8节　抛物线 [考试要求] 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程. 2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率). 3.了解抛物线的简单应用. 1.抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0) p的几何意义:焦点F到准线l的距离 图形 顶点 坐标 O(0,0) x轴 y轴 焦点 坐标 F(,0) F(-,0) F(0,) F(0,-) e=1 续　表 准线 方程 x=- x= y=- y= 范围 x≥0, y∈R x≤0, y∈R y≥0, x∈R y≤0, x∈R 开口 方向 向右 向左 向上 向下 [重要结论] 若AB为抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦,F为抛物线的焦点,A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),弦中点为M(x0,y0),|AB|=l,则: (1)x1x2=. (2)y1y2=-p2. (3)l=x1+x2+p,因为x1+x2≥2=p,所以当x1=x2时,l取得最小值,最小值为2p,此时弦AB垂直于x轴,所以抛物线的焦点弦中通径(垂直于抛物线对称轴的焦点弦叫做抛物线的通径)最短. (4)l=(θ为弦AB的倾斜角). (5)+为定值. (6)以AB为直径的圆与准线相切. (7)以AF或BF为直径的圆与y轴相切. (8)若A在第一象限,B在第四象限,则|AF|=,|BF|=(θ为弦AB的倾斜角). (9)S△AOB=(θ为弦AB的倾斜角). (10)过焦点弦的端点的切线互相垂直,且交点在准线上. 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线.(　　) (2)方程y=4x2表示焦点在x轴上的抛物线,焦点的坐标是(1,0).(　　) (3)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.(　　) (4)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线相切.(　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2.(教材改编题)抛物线y=2x2的准线方程为(　A　) A.y=- B.y=- C.y=- D.y=-1 解析:由y=2x2,得x2=y,故抛物线y=2x2的准线方程为y=-.故选A. 3.(2023·广西百色模拟)焦点为F(0,3)的抛物线标准方程是(　D　) A.y2=12x B.y2=-6x C.x2=-6y D.x2=12y 解析:由题意,设抛物线的方程为x2=2py(p>0),因为抛物线的焦点为 F(0,3),可得=3,解得 p=6,所以抛物线的方程为x2=12y.故选D. 4.(2022·全国乙卷)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|等于(　B　) A.2 B.2 C.3 D.3 解析: 法一　如图,由题意可知F(1,0),设A(,y0),则由抛物线的定义可知|AF|=+1.因为|BF|=3-1=2,所以由|AF|=|BF|,可得+1=2,解得y0=±2,所以A(1,2)或A(1,-2).不妨取A(1,2),则|AB|===2.故选B. 法二　由题意可知F(1,0),|BF|=2,所以|AF|=2.因为抛物线的通径长为2p=4,所以AF的长为通径长的一半,所以AF⊥x轴,所以|AB|===2.故选B. 考点一　抛物线的定义及标准方程 1.若抛物线y2=4x上一点P到其焦点F的距离为2,O为坐标原点,则△OFP的面积为(　B　) A. B.1 C. D.2 解析:设P(xP,yP),由题可得抛物线的焦点为 F(1,0),准线方程为x=-1. 又点P到焦点F的距离为2, 所以由定义知点P到准线的距离为2. 所以xP+1=2, 所以xP=1.代入抛物线方程得|yP|=2, 所以△OFP的面积为S=·|OF|·|yP|=×1×2=1.故选B. 2.(2021·新高考Ⅱ卷)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为,则p等于(　B　) A.1 B.2 C.2 D.4 解析:抛物线的焦点坐标为(,0),其到直线x-y+1=0的距离d==,解得p=2(p=-6舍去).故选B. 3.动圆过点(1,0),且与直线x=-1相切,则动圆的圆心的轨迹方程为　　　　.  解析:设动圆的圆心坐标为(x,y),则圆心到点(1,0)的距离点与到直线x=-1的距离相等,根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为