第九章 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第4节　直线与圆、圆与圆的位置关系 [考试要求] 1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题. 1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法 (1)几何法:利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系. d<r⇔相交;d=r⇔相切;d>r⇔相离. (2)代数法: 2.圆与圆的位置关系 设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=(r1>0), 圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=(r2>0). 方法 位置　　 关系 几何法:圆心距d与 r1,r2的关系 代数法:联立两圆 方程组成方程 组的解的情况 外离 d>r1+r2 无解 外切 d=r1+r2 一组实数解 续　表 方法 位置　　 关系 几何法:圆心距d与 r1,r2的关系 代数法:联立两圆 方程组成方程 组的解的情况 相交 |r1-r2|<d<r1+r2 两组不同的实数解 内切 d=|r1-r2|(r1≠r2) 一组实数解 内含 0≤d<|r1-r2| (r1≠r2) 无解 [重要结论] 1.圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2. (2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2. (3)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2. 2.圆系方程 (1)同心圆系方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中a,b是定值,r是参数; (2)过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程:x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R); (3)过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程:x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)(该圆系不含圆C2,解题时,注意检验圆C2是否满足题意,以防漏解). 3.两圆相交时公共弦的方程 设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,① 圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0.② 若两圆相交,则有一条公共弦,其公共弦所在直线方程由①-②得,即(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0. 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的必要不充分条件.(　　) (2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆外切.(　　) (3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.(　　) (4)过圆O:x2+y2=r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点分别为A,B,则O,P,A,B四点共圆且直线AB的方程是x0x+y0y=r2.(　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2.(教材改编题)直线x-y+2=0与圆(x-a)2+(y-3)2=2相切,则a=(　D　) A.3 B.-1 C.-3或1 D.3或-1 解析:圆(x-a)2+(y-3)2=2的圆心坐标为(a,3),半径为, 又直线x-y+2=0与圆(x-a)2+(y-3)2=2相切,则=,解得a=3或a=-1.故选D. 3.(2023·四川泸县模拟)若圆C1:(x-3)2+(y-4)2=25和圆C2:(x-1)2+(y-2)2=r2相切,则半径r=　　　　.  解析:因为圆C2圆心(1,2)在圆C1内部,所以两圆只能内切,|C1C2|==2, 故2=|5-r|⇒r=5±2. 答案:5±2 4.直线x-y+m=0(m>0)与圆(x-1)2+(y-1)2=3相交所得的弦长为m,则m=　　　　.  解析:圆(x-1)2+(y-1)2=3的圆心坐标为(1,1),半径为,圆心到直线x-y+m=0(m>0)的距离为=,由勾股定理可得()2+()2=3,因为m>0,解得m=2. 答案:2 考点一　直线与圆的位置关系 1.直线l:mx-y+1-m=0与圆C:x2+(y-1)2=5的位置关系是(　A　) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 解析:法一(代数法)　由消去y,整理得(1+m2)x2-2m2x+m2-5=0,因为Δ=16m2+20>0,所以直线l与圆相交. 法二(几何法)　由题意知,圆心(0,1)到直线l的距离d=<1<,故直线l与圆相交. 法三　易得直线l过定点(1,1).把点(1,1)代入圆的方程有1+0<5,所以点(1,1)在圆的内部,故直线l与圆C相交.故选A. 2.“a=3”