第九章 第3节 圆的方程-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第3节　圆的方程 [考试要求] 1.理解确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,掌握圆的标准方程与一般方程. 2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题. 1.圆的定义与方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆 (x-a)2+ (y-b)2= r2(r>0) 圆心为(a,b) 半径为r x2+y2+Dx+ Ey+F=0 充要条件: D2+E2-4F>0 圆心坐标:(-,-) 半径r= 2.点与圆的位置关系 点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系: (1)若M(x0,y0)在圆外,则(x0-a)2+(y0-b)2>r2. (2)若M(x0,y0)在圆上,则(x0-a)2+(y0-b)2=r2. (3)若M(x0,y0)在圆内,则(x0-a)2+(y0-b)2<r2. [重要结论] 1.以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0. 2.圆心在过切点且与切线垂直的直线上. 3.圆心在任一弦的垂直平分线上. 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)确定圆的几何要素是圆心与半径.(　　) (2)方程x2+y2=a2表示半径为a的圆.(　　) (3)方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆.(　　) (4)方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是A=C≠0,B=0,D2+E2-4AF>0.(　　) 答案:(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2.(教材改编题)方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a的取值范围是(　D　) A.(-∞,-2) B.(-,0) C.(-2,0) D.(-2,) 解析:由方程表示圆的条件得a2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0,即3a2+4a-4<0,所以-2<a<.故选D. 3.(2023·贵州贵阳模拟)过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是(　C　) A.(x-3)2+(y+1)2=4 B.(x+3)2+(y-1)2=4 C.(x-1)2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2=4 解析:设圆心C的坐标为(a,b),半径为r.因为圆心C在直线x+y-2=0上,所以b=2-a. 又|CA|2=|CB|2,所以(a-1)2+(2-a+1)2=(a+1)2+(2-a-1)2,所以a=1,b=1,所以r=2. 所以方程为(x-1)2+(y-1)2=4.故选C. 4.(2022·全国甲卷)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M的方程为　　　　　　　　.  解析:法一　设☉M的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则解得所以☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5. 法二　设☉M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则M(-,-), 所以 解得 所以☉M的方程为x2+y2-2x+2y-3=0, 即(x-1)2+(y+1)2=5. 答案:(x-1)2+(y+1)2=5 考点一　圆的方程 1.(2023·甘肃兰州、张掖重点中学联考)设A(2,-1),B(4,1),则以线段AB为直径的圆的方程为(　A　) A.(x-3)2+y2=2 B.(x-3)2+y2=8 C.(x+3)2+y2=2 D.(x+3)2+y2=8 解析:因为A(2,-1),B(4,1),所以由中点坐标公式可得线段AB的中点坐标为(3,0),即圆心为(3,0),又半径r=|AB|==,所以所求圆的方程为(x-3)2+y2=2.故选A. 2.(2023·河南郑州模拟)圆(x+2)2+(y-12)2=4关于直线x-y+8=0对称的圆的方程为(　C　) A.(x+3)2+(y+2)2=4 B.(x+4)2+(y-6)2=4 C.(x-4)2+(y-6)2=4 D.(x+6)2+(y+4)2=4 解析:设对称圆的圆心为(m,n), 则解得所以所求圆的圆心为(4,6), 故所求圆的方程为(x-4)2+(y-6)2=4.故选C. 3.(2022·全国乙卷)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为　　　　　　.  解析:若圆过(0,0),(4,0),(-1,1)三点, 设过这三点的圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,分别将三点的坐标代入,可得解得易得D2+E2-4F>0,所以过这三点的圆的方程为x2+y2-4x-6y=0,即(x-2)2+(y-3)2=13. 若圆过(0,0),(4,0),(4,2)三点, 法一　设过这三点的圆的一般方程为x2+