第九章 第2节 两直线的位置关系-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第2节　两直线的位置关系 [考试要求] 1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直. 2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标. 3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离. 1.两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直. ①两条直线平行: (ⅰ)对于两条不重合的直线l1,l2,其斜率分别为k1,k2,有 l1∥l2⇔k1=k2. (ⅱ)当直线l1,l2斜率都不存在时,l1∥l2. ②两条直线垂直: (ⅰ)如果两条直线l1,l2的斜率存在,设为k1,k2,则有l1⊥l2⇔k1·k2=-1. (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在,而另一条的斜率为0时,l1⊥l2. (2)两条直线的交点坐标. 直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1与l2的交点坐标就是方程组 的解. 2.几种距离 (1)两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离. |P1P2|=. (2)点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=. (3)两条平行直线间的距离公式. 两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离d=(A2+B2≠0). [重要结论] 1.直线系方程 (1)与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0(m∈R且m≠C). (2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+n=0(n∈R). (3)过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但不包括l2. 2.两直线平行的充要条件 直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0平行的充要条件是A1B2-A2B1=0,且A1C2-A2C1≠0. 3.两直线垂直的充要条件 直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是A1A2+B1B2=0. 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)当直线l1和l2的斜率都存在时,一定有k1=k2⇒l1∥l2.(　　) (2)如果两条直线l1与l2垂直,则它们的斜率之积一定等于-1.(　　) (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解,则两直线相交.(　　) (4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.(　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2.(2020·全国Ⅲ卷)点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为(　B　) A.1 B. C. D.2 解析:法一　由点到直线的距离公式知点(0,-1)到直线y=k(x+1)的距离为 d===. 当k=0时,d=1; 当k≠0时,d==, 要使d最大,需k>0且k+最小, 所以当k=1时,dmax=.故选B. 法二　设点A(0,-1), 直线y=k(x+1)恒过点B(-1,0), 当AB垂直于直线y=k(x+1)时, 点A(0,-1)到直线y=k(x+1)的距离最大, 且最大值为|AB|=.故选B. 3.(教材改编题)若三条直线y=2x,x+y=3,mx+2y+5=0相交于同一点,则m的值为　　　　.  解析:由得所以点(1,2)满足方程mx+2y+5=0,即m×1+2×2+5=0, 所以m=-9. 答案:-9 4.(2023·湖北武汉质检)若直线ax+4y-2=0与直线2x-5y+b=0垂直,垂足为(1,c),则a+b+c=　　　　.  解析:因为直线ax+4y-2=0与直线2x-5y+b=0垂直,所以2a+4×(-5)=0,所以a=10, 所以直线ax+4y-2=0的方程为5x+2y-1=0.将点(1,c)的坐标代入上式可得5+2c-1=0,解得c=-2.将点(1,-2)的坐标代入方程2x-5y+b=0, 得2-5×(-2)+b=0,解得b=-12, 所以a+b+c=10-12-2=-4. 答案:-4 考点一　两直线的平行与垂直 [例1] (1)“m=2”是“直线2x+my+1=0与直线mx+2y-1=0平行”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 (2)已知直线l1:ax+by+1=0与l2:2x+y-1=0互相垂直,且l1经过点(-1,0),则b=　　　　.  解析:(1)因为直线2x+my+1=0与直线mx+2y-1=0平行等价于2×2-m2=0且2×(-1)-m≠0,即m=2, 所以“m=2”是“直线2x+my+1=0与直线mx+2y-1=0平行”的充要条件.故选D. (2)由于l1经过点(-1,0),可得a=1. 又直线l1与l2互相垂直,所以l1的斜率必存在且为k1=-, 又k2=-2,所以-