第八章 培优课(四) 立体几何中的综合问题-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

培优课(四)　立体几何中的综合问题 　　解决立体几何中的综合问题,通常应注意分析题目中所有的条件,要注意运用建模,函数的思想求解. 类型一　动态问题 [例1] (1)如图,已知直三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1, ∠ACB=90°,点D是A1B1的中点,E是侧面AA1B1B(含边界)上的动点,且AB1⊥平面C1DE,则直线C1E与侧面AA1B1B所成角的正弦值的最小值为(　　) A. B. C. D. (2)(2020·新高考Ⅰ卷)已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1的棱长均为2,∠BAD=60°.以D1为球心,为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为　　　　.  解析: (1)在直三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,∠ACB=90°,点D是A1B1的中点,E是侧面AA1B1B(含边界)上的动点.因为AB1⊥平面C1DE,DE⊂平面C1DE,所以AB1⊥DE,所以E的轨迹是过点D与AB1垂直的直线DM在侧面AA1B1B内的部分,又易证C1D⊥平面AA1B1B,且C1D=,所以∠C1ED为C1E与侧面AA1B1B所成角,当DE的长度越长时,∠C1ED越小,同时正弦值也越小,又当E为DM与BB1的交点时,DE的长度最长,此时△AA1B1∽△DB1E,可求得DE=,此时C1E=,所以直线C1E与侧面AA1B1B所成角的正弦值的最小值为=.故选C. (2)如图,连接B1D1,易知△B1C1D1为正三角形,所以B1D1=C1D1=2,分别取B1C1,BB1,CC1的中点M,G,H,连接D1M,D1G,D1H,则易得D1G=D1H==,D1M⊥B1C1,且D1M=.由题意知G,H分别是BB1,CC1与球面的交点.在侧面BCC1B1内任取一点P,使MP=,连接D1P,则D1P===,连接MG,MH,易得MG=MH=,故可知以M为圆心,为半径的圆弧GH为球面与侧面BCC1B1的交线.由∠B1MG=∠C1MH=45°,知∠GMH=90°,所以的长为×2π×=. 答案:(1)C　(2) (1)立体几何中的动角范围问题一般是结合线面关系,推断动角的特征或变化关系,结合动角特征探究角的最值或范围. (2)以立体几何为载体的轨迹问题,将立体几何和解析几何巧妙地结合在一起,综合性强.解答这类问题的关键是将空间问题转化为平面问题,一般可以从两方面考虑:一是利用曲线的定义;二是利用解析法求出轨迹方程. (3)对于探究存在问题或动态范围(最值)问题,用定性分析比较难或繁时,可以引进参数,把动态问题划归为静态问题.具体地,可通过构建方程、函数或不等式等进行定量计算,以算促证. [对点训练1] (1)(2023·贵州贵阳模拟)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2AD=4,点E在棱CC1上,且C1E=2CE,点F在正方形 ABCD内.若直线A1F与BB1所成的角等于直线EF与BB1所成的角,则AF的最小值是(　　) A. B.3 C. D. (2)(2023·河南郑州模拟)在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中,E是AA1的中点,P是底面ABCD所在平面内一动点,设PD1,PE与底面ABCD所成的角分别为θ1,θ2(θ1,θ2均不为0),若 θ1=θ2,则三棱锥PBB1C1体积的最小值是(　　) A. B. C. D. 解析:(1)如图,建立空间直角坐标系,则A1(0,0,4),B(2,0,0),B1(2,0,4),E(2,2,), 设F(x,y,0)(x>0,y>0),则=(x,y,-4),=(x-2,y-2,-),=(0,0,4), 所以|cos <,>|==, |cos <,>|==, 所以=, 所以(x-)2+(y-)2=, 故点F的轨迹是在平面xOy上以(,)为圆心,为半径的圆在正方形ABCD内的部分圆, 由圆的性质可得|AF|min=-=.故选A. (2)建立如图所示的空间直角坐标系, 因为正方体的边长为3,则E(3,0,),D1(0,0,3),设P(x,y,0)(x≥0,y≥0), 则=(3-x,-y,),=(-x,-y,3), 因为θ1=θ2,平面ABCD的一个法向量为z=(0,0,1), 所以cos θ1=cos θ2, 即=, 代入数据,得=,整理得x2+y2-8x+12=0,变形,得(x-4)2+y2=4(0≤y≤2), 即动点P的轨迹为圆的一部分,过点P作PF⊥BC,交BC于点F,则PF为三棱锥PBB1C1的高, 所以点P到直线AD的距离的最大值是2.则PFmin=3-2=1. 因为=·BB1·B1C1=×3×3=, 所以=·PF·=×1×=.故选C. 类型二　翻折问题 [例2] (2019·全国Ⅲ卷)图①是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组