第八章 第7节 利用空间向量求空间角-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第7节　利用空间向量求空间角 [考试要求] 1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题. 2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用. 1.异面直线所成的角 设a,b分别是两异面直线l1,l2的方向向量,则 a与b的夹角β l1与l2所成的角θ 范围 (0,π) (0,] 求法 cos β= cos θ=|cos β|= 2.求直线与平面所成的角 设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为θ,则sin θ=|cos <a,n>|=. 3.求二面角的大小 (1)如图①,AB,CD是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小θ=<,>. (2)如图②③,n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足 |cos θ|=|cos <n1,n2>|,二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角). [重要结论] 1.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值,即sin θ=|cos <a,n>|,不要误记为cos θ=|cos <a,n>|. 2.二面角与法向量的夹角:利用平面的法向量求二面角的大小时,当求出两个半平面α,β的法向量n1,n2时,要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向,来确定二面角与向量n1,n2的夹角是相等,还是互补. 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.(　　) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.(　　) (3)两个平面的法向量所成的角就是这两个平面所成的角.(　　) (4)两异面直线夹角的范围是(0,],直线与平面所成角的范围是[0,],二面角的范围是[0,π].(　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2.(教材改编题)已知向量m,n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量,若cos <m,n>=,则l与α所成的角为(　B　) A.30° B.60° C.120° D.150° 解析:由于cos <m,n>=,所以<m,n>=30°,所以直线l与α所成的角为60°.故选B. 3.(2023·云南昆明检测)过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD,若AB=PA,则平面ABP与平面CDP所成的二面角为　　　　.  解析: 如图,建立空间直角坐标系,设AB=PA=1, 则A(0,0,0),D(0,1,0), P(0,0,1),由题意,AD⊥平面PAB,设E为PD的中点, 连接AE,则AE⊥PD,又CD⊥平面PAD,AE⊂平面PAD, 所以CD⊥AE,又PD∩CD=D,PD,CD⊂平面PCD, 从而AE⊥平面PCD. 所以=(0,1,0),=(0,,)分别是平面PAB、平面PCD的法向量, 且<,>=45°.故平面PAB与平面PCD所成的二面角为45°. 答案:45° 4.(2023·山东日照模拟)正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为2,则AC1与侧面ABB1A1所成的角为　　　　.  解析: 以A为坐标原点,以,(AE⊥AB),所在直线为坐标轴(如图)建立空间直角坐标系,设D为A1B1的中点,连接AD,则A(0,0,0),C1(1,,2),D(1,0,2), 所以=(1,,2),=(1,0,2).∠C1AD为AC1与平面ABB1A1所成的角, cos∠C1AD===, 又因为∠C1AD∈[0,], 所以∠C1AD=. 答案: 考点一　用空间向量求异面直线所成的角 1. (2022·贵州凯里一中三模)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=,BC=2,点D为BC的中点,则异面直线AD与A1C所成的角为(　B　) A. B. C. D. 解析: 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AB,AC⊂平面ABC,则AA1⊥AB,AA1⊥AC,又AB2+AC2=BC2,则AB⊥AC,故以A为坐标原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),A1(0,0,),B(,0,0),C(0,,0),所以D(,,0),所以=(,,0),=(0,,-),所以cos <,>==,所以<,>=.则异面直线AD与A1C所成的角为.故选B. 2.在四面体ABCD中,BD⊥AD,CD⊥AD,BD⊥BC,BD=AD=1,BC=2,则异面直线AB与CD所成角的余弦值为(　D　) A. B. C. D. 解析: 以D为坐标原点,以在平面BCD内过D与BD垂直的直线为x轴,以DB,DA所在的直线分别为y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系