第八章 第6节 空间向量的运算及应用-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第6节　空间向量的运算及应用 [考试要求] 1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能用向量的数量积判断向量的共线和垂直. 4.理解直线的方向向量及平面的法向量,能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理. 1.空间向量及其有关概念 (1)空间向量的有关概念. 名称 概念 表示 零向量 长度为0的向量 0 单位向量 模为1的向量 相等向量 方向相同且模相等的向量 a=b 相反向量 方向相反且模相等的向量 a的相反 向量-a 共线向量 (平行 向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 a∥b 共面向量 平行于同一个平面的向量 (2)空间向量中的有关结论. ①对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使得a=λb. ②如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb. ③空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc.{a,b,c}叫做空间的一个基底. 2.空间向量的数量积及坐标运算 (1)两个非零空间向量的数量积. ①a·b=|a||b|cos<a,b>. ②a⊥b⇔a·b=0. ③设a=(x,y,z),则a2=|a|2,|a|=. (2)空间向量运算的坐标表示. a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3) 向量和 a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3) 向量差 a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3) 数量积 a·b=a1b1+a2b2+a3b3 共线 a∥b⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 (λ∈R,b≠0) 垂直 a⊥b⇔a1b1+a2b2+a3b3=0 夹角 公式 cos<a,b>= 3.空间位置关系的向量表示 (1)直线的方向向量:如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合,则称此向量a为直线l的方向向量. (2)平面的法向量:直线l⊥α,取直线l的方向向量a,则向量a叫做平面α的法向量. (3) 位置 关系 向量表示 直线l1,l2的方向向量分别为n1,n2 l1∥l2 n1∥n2⇔n1= λn2(λ∈R) l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2=0 直线l的方向向量为n,平面α的法向量为m,l⊄α l∥α n⊥m⇔n·m=0 l⊥α n∥m⇔n=λm(λ∈R) 平面α,β的法向量分别为n,m α∥β n∥m⇔n=λm(λ∈R) α⊥β n⊥m⇔n·m=0 [重要结论] 证明空间任意三点共线的方法 对空间三点P,A,B可通过证明下列结论成立来证明三点共线: (1)=λ(λ∈R). (2)对空间任意一点O,=+t(t∈R). (3)对空间任意一点O,=x+y(x+y=1). 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)直线的方向向量是唯一确定的.(　　) (2)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行,则a∥α.(　　) (3)若{a,b,c}是空间的一个基底,则a,b,c中至多有一个零向量.(　　) (4)若a·b<0,则<a,b>是钝角.(　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2. (教材改编题)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若=a,=b,=c,则下列向量中与 相等的向量是(　A　) A.-a+b+c B.a+b+c C.-a-b+c D.a-b+c 解析:由题意及向量的运算法则,得=+=+(-)=c+(b-a)=-a+b+c.故选A. 3.(2023·四川宁南模拟)若平面α,β的法向量分别为a=(,-1,3),b=(-1,2,-6),则(　D　) A.α∥β B.α与β相交但不垂直 C.α⊥β D.α∥β或α与β重合 解析:由题意,a=(,-1,3)=-(-1,2,-6)=-b,所以a∥b,因为a,b分别是平面α,β的法向量,所以α∥β或α与β重合.故选D. 4.(2023·黑龙江哈九中开学考试)已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面ABC的一个单位法向量是(　D　) A.(,,-) B.(,-,) C.(-,,) D.(-,-,-) 解析:依题意,=(-1,1,0),=(-1,0,1),设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则令x=1,得n=(1,1,1),于是得与n同向的单位向量为=(,,),与n反