第八章 第5节 直线、平面垂直的判定与性质-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第5节　直线、平面垂直的判定与性质 [考试要求] 1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系. 2.掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质,并会简单的应用. 1.直线与平面垂直 (1)定义. 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,则直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α,直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面. (2)判定定理与性质定理. 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质 定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒ a∥b 2.直线和平面所成的角 (1)定义. 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.若一条直线垂直于平面,它们所成的角是直角,若一条直线和平面平行,或在平面内,它们所成的角是0°的角. (2)范围:[0,]. 3.平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念. ①二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. ②二面角的平面角:在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角. (2)平面和平面垂直的定义. 一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直. (3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理. 文字语言 图形语言 符号语言 判 定 定 理 一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性 质 定 理 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒ l⊥α [重要结论] 直线与平面垂直的常用结论 (1)若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意直线. (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面. (3)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这条直线与另一个平面也垂直. (4)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面. 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直,则 l⊥α.(　　) (2)垂直于同一个平面的两平面平行.(　　) (3)若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.(　　) (4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线,则α⊥β.(　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2.(教材改编题)如图所示,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BAD=∠BDC=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成四面体A-BCD,则在四面体A-BCD中,下列说法正确的是(　D　) ①直线BC⊥直线AD,②直线CD⊥直线AB,③直线CD⊥平面ABD,④平面ACD⊥平面ABD. A.①② B.②③ C.③④ D.②③④ 解析: 取BD的中点E,连接AE,则AE⊥BD, 因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AE⊂平面ABD, 所以AE⊥平面BCD,所以AE⊥BC,假设BC⊥AD,因为AD与AE交于A,所以BC⊥平面ABD,所以BC⊥BD,这与∠BDC=90°相矛盾,故假设不成立,即直线BC与直线AD垂直不成立. 由平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,CD⊂平面BCD,且CD⊥BD,可得CD⊥平面ABD,又AB⊂平面ABD,所以直线CD⊥直线AB,又CD⊂平面ACD,所以平面ACD⊥平面ABD,所以①错误,②③④正确.故选D. 3.(2023·陕西西安联考)已知AB是圆柱上底面的一条直径,C是上底面圆周上异于A,B的一点,D为下底面圆周上一点,且AD⊥圆柱的底面,则必有(　B　) A.平面ABC⊥平面BCD B.平面BCD⊥平面ACD C.平面ABD⊥平面ACD D.平面BCD⊥平面ABD 解析: 因为AB是圆柱上底面的一条直径,所以AC⊥BC, 又AD垂直于圆柱的底面,所以AD⊥BC,因为AC∩AD=A,AC,AD⊂平面ACD,所以BC⊥平面ACD, 由于BC⊂平面BCD,所以平面BCD⊥平面ACD.故选B. 4. (2021·浙江卷)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,M,N分别是A1D,D1B的中点,则(　A　) A.直线A1D与直线D1B垂直,直线MN∥平面ABCD B.直线A1D与直线D1B平行,直线MN⊥平面BDD1B1 C.直线A1D与直线D1B相交,直线MN∥平面ABCD D.直线A1D与直线D1B异面,直线MN⊥平面BDD1B1 解析:连接AD1(图略),则易得点M在AD1上,且AD1⊥A1D.因为AB⊥平面AA1D1D,所以AB⊥A1D