第八章 第2节 空间几何体的表面积和体积-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第2节　空间几何体的表面积和体积 [考试要求] 了解柱、锥、台、球体的表面积和体积的计算公式. 1.常见旋转体的表(侧)面积 名称 图形 表面积 侧面积 圆柱 S=2πr2+2πrl=2πr(r+l) S侧=2πrl 圆锥 S=πr2+πrl=πr(r+l) S侧=πrl 圆台 S=π(r′2+r2+r′l+rl) S侧=π(r+r′)l 球 S=4πR2 2.常见空间几何体的体积公式 (1)设棱(圆)柱的底面积为S,高为h,则体积V=Sh. (2)设棱(圆)锥的底面面积为S,高为h,则体积V=Sh. (3)设棱(圆)台的上、下底面面积分别为S′,S,高为h,则体积V=(S′++S)h. (4)设球的半径为R,则球的体积V=πR3. [重要结论] 1.正方体与球的切、接常用结论(正方体的棱长为a,球的半径为R): (1)若球为正方体的外接球,则2R=a; (2)若球为正方体的内切球,则2R=a; (3)若球与正方体的各棱相切,则2R=a. 2.长方体的共顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=. 3.正四面体的外接球的半径R=a,内切球的半径 r=a,其半径R∶r=3∶1(a为该正四面体的棱长). 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)锥体的体积等于底面面积与高之积.(　　) (2)两个球的体积之比等于它们的半径比的平方.(　　) (3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.(　　) (4)已知球O的半径为R,其内接正方体的边长为a,则R=a.(　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2.(2022·全国甲卷)如图,网格纸上绘制的是一个多面体的三视图,网格小正方形的边长为1,则该多面体的体积为(　B　) A.8 B.12 C.16 D.20 解析: 三视图对应的几何体是放倒的直四棱柱,如图,直四棱柱的高为2,底面是上底为2,下底为4,高为2的梯形,所以体积V=Sh=×(2+4)×2×2=12.故选B. 3. (教材改编题)如图,将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥,则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为　　　　　.  解析:设长方体的相邻三条棱长分别为a,b,c,它截出棱锥的体积为V1=××a×b×c=abc,剩下的几何体的体积V2=abc-abc=abc.所以V1∶V2=1∶47. 答案:1∶47 4.(2023·广西柳州一中模拟)已知圆锥的侧面积为2π cm2,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面半径是　　　　cm.  解析: 如图,设圆锥的母线长为l,底面半径为r,则圆锥的侧面积S侧=πrl=2π,即r·l=2. 由于侧面展开图为半圆,可知 πl2=2π,可得l=2,因此r=1. 答案:1 考点一　空间几何体的表面积与侧面积 1.(2023·广西南宁东盟中学模拟预测)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为(　B　) A.12π B.12π　 C.8π　 D.10π 解析:由题意知,圆柱的轴截面是一个面积为8的正方形,则圆柱的高与底面直径均为2,则圆柱的底面半径为.所以圆柱的表面积S圆柱=2πr2+2πrh=2π()2+2π××2=4π+8π=12π.故选B. 2.某三棱柱的底面为正三角形,其三视图如图所示,该三棱柱的表面积为(　D　) A.6+ B.6+2 C.12+ D.12+2 解析:将三视图还原为直观图(图略),知该三棱柱是正三棱柱,其高为2,底面是边长为2的等边三角形,正三棱柱的上、下两个底面的面积均为×2×2×sin 60°=×2×2×=,三个侧面的面积均为2×2=4,故其表面积为2+12.故选D. 3.(2021·全国甲卷)已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30π,则该圆锥的侧面积为　　　　. 解析:设该圆锥的高为h,则由已知条件可得×π×62×h=30π,解得h=,则圆锥的母线长为==,故该圆锥的侧面积为π×6×=39π.　 答案:39π 空间几何体表面积的求法 (1)旋转体的表面积问题应注意其轴截面及侧面展开图的应用,并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系. (2)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积要注意衔接部分的处理. (3)以三视图为载体的问题需确定几何体中各元素之间的位置关系及数量. 考点二　空间几何体的体积 [例1] (1)(2022·新高考Ⅰ卷)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5 m时,相应水面的面积为140.0 km2;水位为海拔157.5 m时,相应水面的面积为180.0 km2.将该