专题5-4 平面向量综合应用6大考点-【考点全归纳】2024年高考数学一轮复习核心考点与重难点突破（新高考通用）

专题5-4 平面向量的综合应用6大考点 知识点一 三角形的“重心” 1、重心的定义：中线的交点，重心将中线长度分成 三角形中线向量式： 2、重心的性质： （1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。 （2）重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 （3）在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即. 3、常见重心向量式：设是的重心，为平面内任意一点 ① ② ③若或，，则一定经过三角形的重心 ④若或，则一定经过三角形的重心 知识点二 三角形的“垂心” 1、垂心的定义：高的交点。 锐角三角形的垂心在三角形内； 直角三角形的垂心在直角顶点上； 钝角三角形的垂心在三角形外。 2、常见垂心向量式：是的垂心，则有以下结论： 1、 2、 3、动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心 4、奔驰定理推论：，. 知识点三 三角形的“内心” 1、内心的定义：角平分线的交点(或内切圆的圆心)。 2、常见内心向量式：是的内心， （1）（或） 其中，，分别是的三边、、的长， （2），，则一定经过三角形的内心。 知识点四 三角形的“外心” 1、外心的定义：三角形三边的垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心 到三角形三个顶点的距离相等 2、常用外心向量式：是的外心， 1、 2、 3、动点满足，， 则动点的轨迹一定通过的外心. 4、若，则是的外心. 知识点五 极化恒等式及其推论： 1、极化恒等式： （1）公式推导： （2）几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的． 2、平行四边形模式：如图，平行四边形ABCD，O是对角线交点．则·＝[|AC|2－|BD|2]． 3、三角形模式：如图，在△ABC中，设D为BC的中点，则·＝|AD|2－|BD|2． （1）推导过程：由. （2）三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决． （3）记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差． 知识点六 奔驰定理及其应用 1、奔驰定理：是内的一点，且， 则 2、证明过程：已知是内的一点，，，的面积分别为，，， 求证：. 延长与边相交于点， 则， ， ∵， ∴， ∴， 所以. （3）奔驰定理推论：，则 ① ②，，. 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”． （4）对于三角形面积比例问题，常规的作法一般是通过向量线性运算转化出三角形之间的关系。但如果向量关系符合奔驰定理的形式，在选择填空题当中可以迅速的地得出正确答案。 一、极化恒等式的作用和使用范围 1、极化恒等式的作用： 建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数之间的互相转化。 2、极化恒等式的适用范围： （1）共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化； （2）不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移， 等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题。 二、极化恒等式使用方法 在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下： 第一步：取第三边的中点，连接向量的起点与中点； 第二步：利用极化恒等式公式，将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； 第三步：利用平面几何方法或用正余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积， 如需进一步求数量积范围，可以用点到直线的距离最小 或用三角形两边之和大于等于第三边，两边之差小于第三边 或用基本不等式等求得中线长的最值(范围)。 考点一 利用向量判断多角形的形状 【例1】（2023·全国·高三专题练习）若为所在平面内一点，且，则的形状为（ ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知中，，，则此三角形为（ ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知点为的外心，且，则为（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【变式1-3】（2023秋·山东滨州·高三统考期末）已知非零向量，满足，且，则为（ ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【变式1-4】（2022春·北京·高三校考阶段练习）已知△ABC，若对任意t∈R，，则△ABC一定为（ ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．答案不确定 考点