江西省宜春市铜鼓中学2022-2023学年高二下学期数学周练5

江西省铜鼓中学2024届高二下学期数学周练5

试卷满分：110分  考试时间：90分钟

一、单选题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

1．在和两数之间插入个数，使它们与，组成等差数列，则该数列的公差为（    ）

A． B． C． D．

2．已知等差数列的公差为，前项和为，且，则正确的是（    ）

A． B． C． D．

3．若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（    ）

A． B． C． D．

4．如图是函数的导函数的图象，给出下列命题：

①是函数的极值点；        ②在处切线的斜率小于零；

③在区间上单调递增；      ④是函数的最小值点．

则正确命题的序号是（    ）

A．①③ B．①②

C．③④ D．②③

5．已知抛物线的焦点为F，双曲的离心率为，F到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为（    ）．

A． B． C． D．

6．（实验班）已知函数，若方程有且仅有三个实数解，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

6．若函数有三个零点，则k的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题（本大题共2小题，每小题5分，共10分。少选得2分，有错误选项得0分）

7．（实验班）是定义在R上的奇函数，当时，有恒成立，则（    ）

A． B．

C． D．

7．定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则必有（    ）

A． B．

C． D．

8．已知函数，则下列说法正确的是（    ）．

A．当时，过原点作曲线的切线l，则l的方程为

B．当时，在上单调递增

C．若在上单调递增，则

D．当时，在上有极小值点

三、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）

9．已知数列通项公式，则数列的前项和为__________．

10．设某车间的A类零件的厚度L（单位：）服从正态分布，且．若从A类零件中随机选取100个，则零件厚度小于的个数的方差为______．

四、解答题（本大题共5题，每小题12分，共60分）

11．已知函数．

(1)求函数的极值及相应的的值；

(2)过点做曲线的切线，求切线方程．

 

 

 

12．（实验班）已知函数．

(1)若在区间上单调递增，求a的取值范围；

(2)若，证明：．

12．已知.

（1）求的单调增区间；

（2）若在定义域内单调递增，求的取值范围

 

 

 

 

 

13．（实验班）已知数列满足：，；数列是等比数列，并满足，且，，成等差数列.

（1）求数列，的通项公式；

（2）若数列的前项和是，数列满足，求证：.

 

 

 

 

 

13．在数列中,,,设.

（1）证明：数列是等差数列并求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

 

 

 

 

14．如图，在三棱锥中，平面为线段上一点，且.

(1)在线段上求一点，使得平面平面，并证明；

(2)求点C到平面ABD的距离.

 

 

 

 

 

15．如图，已知圆：和点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和相交于点，记点的轨迹为曲线.

(1)求曲线的方程；

(2)设点是曲线与轴正半轴的交点，过点的直线交曲线于、两点，直线，的斜率分别是，，证明：为定值.

 

则设,其中，

则因为，所以，得，故,设平面的法向量为,则，令，得设，平面的法向量为则，令，可得因为平面平面，所以，解得，故当为靠近点的三等分点时，平面平面.

（2）由（1）可知，，设平面的法向量为，则，取，则则点C到平面ABD的距离.

15．（1）圆的圆心，半径，点在圆内,由题知，∴，∴曲线是以，为焦点，长轴长为的椭圆，由，，得，∴曲线的方程；

（2）由（1）知，易知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，，

联立方程组，得.∴，，

∴，即