专题5-3 平面向量的数量积及其应用6大考点-【考点全归纳】2024年高考数学一轮复习核心考点与重难点突破（新高考通用）

专题5-3 平面向量的数量积及其应用6大考点 知识点一 平面向量的数量积 1、向量的夹角 （1）定义：已知两个非零向量和，作，，则∠AOB就是向量与的夹角． （2）范围：设θ是向量与的夹角，则0°≤θ≤180°. （3）共线与垂直：若θ＝0°，则与同向；若θ＝180°，则与反向；若θ＝90°，则与垂直． 2、平面向量的数量积 （1）定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，则数量叫做与的数量积(或内积)， 记作，即，规定零向量与任一向量的数量积为0，即. （2）几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积． 【注意】（1）数量积也等于的长度|b|与在方向上的投影的乘积，这两个投影是不同的． （2）在方向上的投影也可以写成，投影是一个数量，可正可负可为0，取决于θ角的范围． 3、向量数量积的性质 设，是两个非零向量，是单位向量，α是与的夹角，于是我们就有下列数量积的性质： （1）. （2）. （3），同向⇔；，反向⇔. 特别地或. （4）若θ为，的夹角，则. 4、谨记常用结论：； 5、平面向量数量积的运算律 （1） (交换律)． （2） (结合律)． （3） (分配律)． 【注意】对于实数a，b，c有，但对于向量，，而言，不一定成立，即不满足向量结合律．这是因为表示一个与c共线的向量，而表示一个与a共线的向量，而与不一定共线，所以不一定成立． 知识点二 平面向量数量积的坐标表示 已知非零向量，，与的夹角为θ. 结论 几何表示 坐标表示 模 夹角 的充要条件 与的关系 一、平面向量数量积的3种运算方法 1、定义法求平面向量的数量积 （1）方法依据：当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即 （2）适用范围：已知或可求两个向量的模和夹角。 2、基底法求平面向量的数量积 （1）方法依据：选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别用这组基底表示出来，进而根据数量级的运算律和定义求解。 （2）适用范围：直接利用定义法求数量积不可行时，可将已知模和夹角的两个不共线的向量作为基底，采用“基底法”求解。 3、坐标法求平面向量的数量积 （1）方法依据：当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解， 即若，，则； （2）适用范围：①已知或可求两个向量的坐标；②已知条件中有（或隐含）正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标法求数量积。 二、求向量模的常用方法 1、当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式； 2、利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算； 3、几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解． 三、求向量模的最值(范围)的3种方法 1、代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解 2、几何法：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解 3、不等式法：利用绝对值三角不等式求模的最值(范围) 四、数量积的最值或范围问题的2种求解方法 1、临街分析法：结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围 2、目标函数法：将将数量积表示为某一个变量或两个变量的函数，建立函数关系式，再利用三角函数有界性、二次函数或基本不等式求最值或范围 考点一 平面向量数量积的运算 【例1】（2023秋·广东珠海·高三校考开学考试）已知向量，，且（ ） A．5 B． C．11 D． 【变式1-1】（2023·陕西西安·高三校考模拟预测）在梯形中，，，，，为的中点，则（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，，则 . 【变式1-3】（2022秋·福建福州·高三校考期中）已知菱形的边长为6，，点分别在边上，，，则＝ ． 【变式1-4】（2023秋·江苏南通·高三统考开学考试）中，，，，的角平分线交于，则 . 考点二 平面向量的垂直问题 【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023·全国·高三专题练习）若平面向量，的夹角为60°，且，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）已知向量．若，则（ ） A． B．2 C． D．0 【变式2-3】（2023·全国·高三专题练习）已知中，，且，若，且，则实数λ的值为 . 考点三 平面