四川省成都市石室中学2023-2024学年高三上学期数学（理科）第三次周考试卷

成都石室中学2023-2024学年度上期高2024届周考(20230924) 数学试题(理科) (满分150分,考试时间120分钟) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集,集合,则等于 A. B. C. D. 2.为了得到函数的图象,可以将函数的图象 A.向右平移 B.向右平移 C. 向左平移 D. 向左平移 3.已知半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域,在圆中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率是,则阴影部分的面积是 A. B. C. D. 4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请问第二天走了 A.192里 B.96里 C.48里 D.24里 5.直线被圆所截得的最短弦长等于 A. B. C. D. 6.已知满足,则 A. B. C. D. 7.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的各个面中, 面积的最大值为 A. B. C. D. 8.已知,是双曲线的左、右焦点,若双曲线上存在点满足,则双曲线离心率的最小值为 A. B. C. D. 9.定义在上的函数满足,且有,若,实数满足,则的最小值为 A. B. C. D. 10.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上,,若三棱锥的体积的最大值为2,则球的表面积为 A. B. C. D. 11.抛物线的焦点为,已知点为抛物线上的两个动点,且满足,过弦的中点作该抛物线准线的垂线,垂足为,则的最小值为 A. B. C. D. 12.若时,不等式恒成立,则实数的取值范围是 A. B. C. D. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 把答案填在答题卡上. 13.已知两个单位向量若,则的夹角为_. 14.高三某6个班级从“青城山”等6个不同的景点中任意选取一个进行郊游活动,其中1班、2班不去同一景点且均不去“青城山”的不同的安排方式有_种. 15.在中, 分别为角的对边, ,若, 则_. 16.如图,直三棱柱中,, ,,外接球的球心为 ,点是侧棱上的一个动点.有下列判断: ①直线与直线是异面直线;②一定不垂直; ③三棱锥的体积为定值; ④的最小值为. 其中正确的序号是_. 三、解答题:本大题共6小题,共70分.写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分) 已知各项均为正数的数列的前项和为,,. (Ⅰ)证明:数列为等差数列,并求的通项公式; (Ⅱ)设,数列的前项和记为,证明:. 18.(本小题满分12分) 随着城市规模的扩大和人们生活水平的日益提高,某市近年机动车保有量逐年递增.根据机动车管理部门的统计数据,以5年为一个研究周期,得到机动车每5年纯增数据情况为: 年度周期 1995~2000 2000~2005 2005~2010 2010~2015 2015~2020 时间变量 1 2 3 4 5 纯增数量 (单位:万辆) 3 6 9 15 27 其中,时间变量对应的机动车纯增数据为,且通过数据分析得到时间变量与对应的机动车纯增数量(单位:万辆)具有线性相关关系. (Ⅰ)求机动车纯增数量(单位:万辆)关于时间变量的回归方程,并预测20252030年间该市机动车纯增数量的值; (Ⅱ)该市交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的赞同情况,随机采访了220名市民,将他们的意见和是否拥有私家车情况进行了统计,得到如下的列联表: 赞同限行 不赞同限行 合计 没有私家车 90 20 110 有私家车 70 40 110 合计 160 60 220 根据上面的列联表判断,能否有的把握认为“对限行的意见与是否拥有私家车”有关. 附:回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:;. 附:,. 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19.(本小题满分12分) 如图是一个正三棱柱和三棱锥的组合体, 其中平面,, (Ⅰ)求证:平面; (Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值. 20.(本小题满分12分) 已知椭圆左、右焦点分别为,,为椭圆上任意一点,过的直线与椭圆交于,两点. (Ⅰ)当时,求的最大值; (Ⅱ)点在线段上,且,点关于原点对称的点为点,求面积的取值范围. 21.(本小题满分12分) 已知函数,,其中. (Ⅰ)若,讨论的单调区间; (Ⅱ)若 的两根为,且,证明: . 选考题:共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的