9-9 概率与统计的综合问题 (精讲精练）-【三维备考】2024年高考数学大一轮复习高频考点与题型分类（新高考专用）

9-9 概率与统计的综合问题 9-9 概率与统计的综合问题 1 一、分类题型 2 题型一 频率分布直方图与分布列的综合问题 2 题型二 回归模型与分布列的综合问题 3 题型三 独立性检验与分布列的综合问题 4 二、分层训练：课堂知识巩固 5 一、分类题型 题型一 频率分布直方图与分布列的综合问题 【例题精析1】 某乒乓球队训练教官为了检验学员某项技能的水平，随机抽取100名学员进行测试，并根据该项技能的评价指标，按分成8组，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求a的值，并估计该项技能的评价指标的中位数（精确到0.1）； (2)若采用分层抽样的方法从评价指标在和内的学员中随机抽取12名，再从这12名学员中随机抽取5名学员，记抽取到学员的该项技能的评价指标在内的学员人数为，求的分布列与数学期望． 【例题精析2】 某“双一流”大学的专业奖学金是以所学专业各科考试成绩作为评选依据，分为专业一等奖学金（资金3000元）、专业二等奖学金（奖金1500元）和专业三等奖学金（奖金600元），且专业奖学金每个学生一年最多只能获得一次.图1是该校2022年500名学生每周课外平均学习时间的频率分布直方图，图2是这500名学生在2022年每周课外平均学习时间段专业奖学金的频率柱状图.          (1)求这500名学生中获得专业三等奖学金的人数. (2)若将每周课外平均学习时间超过35h的学生称为“努力型”学生，否则称为“非努力型”学生，画出列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为该校学生获得专业一、二等奖学金与努力有关？ (3)若以频率作为概率，从该校任选1名学生，记该学生2022年获得的专业奖学金的金额为随机变量，求随机变量的分布列和期望. 附表： 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 观测值计算公式：. 【例题精析3】 某高校在2018年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，折合成标准分后，最高分是10分．按成绩共分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到的频率分布直方图如图所示：    (1)分别求第三，四，五组的频率； (2)该学校在第三，四，五组中用分层抽样的方法抽取6名同学． ①已知甲同学和乙同学均在第三组，求甲、乙同时被选中的概率； ②若在这6名同学中随机抽取2名，设第4组中有名同学，求的分布列． 【例题精析4】 为了调动学生学习数学的积极性，张老师对教学方法进行改革，经过教学实验，张老师的80名学生数学成绩都在[50，100]内，按区间分为[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，绘制成如下频率分布直方图，规定不低于80分（百分制）为优秀．    (1)求这80名学生的平均成绩（同一区间的数据用该区间中点值作代表）； (2)按优秀与非优秀用分层随机抽样方法随机抽取10名学生座谈，再在这10名学生中，选3名学生发言，记优秀学生发言的人数为随机变量X，求X的分布列和期望． 【例题精析5】 某研究小组为研究经常锻炼与成绩好差的关系，从全市若干所学校中随机抽取100名学生进行调查，其中有体育锻炼习惯的有45人．经调查，得到这100名学生近期考试的分数的频率分布直方图．记分数在600分以上的为优秀，其余为合格．    (1)请完成下列列联表．根据小概率值的独立性检验，分析成绩优秀与体育锻炼有没有关系． 经常锻炼 不经常锻炼 合计 合格 25 优秀 10 合计 100 (2)现采取分层抽样的方法，从这100人中抽取10人，再从这10人中随机抽取5人进行进一步调查，记抽到5人中优秀的人数为X，求X的分布列． 附：，其中． 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【例题精析6】 某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额，网购次数和支付方式等进行了问卷调查.经统计，这100位居民的网购消费金额均在区间内（单位：千元），按，，，，，分成6组，其频率分布直方图如下图.      (1)将一年来网购消费金额在20千元以上称为“网购迷”，补全下面的列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”； 男 女 合计 网购迷 20 非网购迷 45 合计 100 (2)估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数； (3)调查显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响.统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示： 网购总次数