9-7 离散型随机变量及其分布列、数字特征 (精讲精练）-【三维备考】2024年高考数学大一轮复习高频考点与题型分类（新高考专用）

9-7 离散型随机变量及其分布列、数字特征 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念. 2.理解并会求离散型随机变量的数字特征． 9-7 离散型随机变量及其分布列、数字特征 1 一、主干知识 1 考点1：离散型随机变量 2 2．离散型随机变量的分布列 2 3．离散型随机变量的分布列的性质 2 4．离散型随机变量的均值与方差 2 5．均值与方差的性质 2 【常用结论总结】 2 二、分类题型 4 题型一 分布列的性质 4 题型二 离散型随机变量的分布列及数字特征 5 题型三 均值与方差中的决策问题 6 三、分层训练：课堂知识巩固 7 一、主干知识 考点1：离散型随机变量 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量． 2．离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n为X的概率分布列，简称分布列． 3．离散型随机变量的分布列的性质 ①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1. 4．离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn (1)均值 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)方差 称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度． 5．均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)． 【常用结论总结】 均值与方差的四个常用性质 (1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数．(2)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)． (3)D(X)＝E(X2)－(E(X))2.(4)若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)． 二、分类题型 题型一 分布列的性质 【例题精析1】 某车间打算购买2台设备，该设备有一个易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零件作为备件，价格为每个120元.在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件时，价格为每个280元.在使用期间，每台设备需更换的零件个数X的分布列为： X 6 7 8 P 0.4 0.5 0.1 若购买2台设备的同时购买易损零件13个，则在使用期间，这2台设备另需购买易损零件所需费用的期望为（    ） A．1716.8元 B．206.5元 C．168.6元 D．156.8元 【例题精析2】 为了丰富学生的课余生活，促进校园文化建设，我校高二年级通过预赛选出了6个班(含甲、乙)进行经典美文诵读比赛决赛.决赛通过随机抽签方式决定出场顺序.求: (1)甲、乙两班恰好在前两位出场的概率; (2)决赛中甲、乙两班之间的班级数记为X，求X的均值和方差. 【例题精析3】 某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元，现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到其频数分布图（如图所示）.若将这100台机器在三年内更换的易损零件数的频率视为1台机器在三年内更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. (1)求X的分布； (2)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？并说明理由. 【例题精析4】 某市为了解人们对于新颁布的“改造健身中心”方案的支持度，随机调查了60人，他们年龄的频数分布及支持“改造健身中心”方案人数如下表： 年龄 [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） [40，45） [45，50] 频数 15 15 5 15 5 5 支持“改造健身中心” 12 5 4 8 2 1 (1)根据以上统计数据填写下面2×2列联表，并问是否有95%的把握认为以40岁为分界点对“改造健身中心”方案的支持度的差异性有关系； 年龄不低于40岁的人数 年龄低于40岁的人数 总计 支持 不支持 总计 下表的临界值表供参考： P