9-1 两个计数原理 (精讲精练）-【三维备考】2024年高考数学大一轮复习高频考点与题型分类（新高考专用）

9-1 两个计数原理 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理. 2.会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题． 9-1 两个计数原理 1 一、主干知识 1 考点1：两个计数原理 1 【常用结论总结】 2 二、分类题型 2 题型一 分类加法计数原理 2 题型二 分步乘法计数原理 3 题型三 两个计数原理的综合应用 4 三、分层训练：课堂知识巩固 5 一、主干知识 考点1：两个计数原理 (1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法． (2)分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． 【常用结论总结】 两个计数原理的区别与联系 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 用来计算完成一件事的方法种数 不同点 分类、相加 分步、相乘 每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事 每步依次完成才算完成这件事情(每步中的每一种方法不能独立完成这件事) 注意点 类类独立，不重不漏 步步相依，缺一不可 二、分类题型 题型一 分类加法计数原理 【例题精析1】 如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路．那么，从甲地到丁地，如果每条路至多走一次，且每个地点至多经过一次，有多少种不同的走法？    【例题精析2】 书架上放有6本不同的数学书和5本不同的语文书．从中任取一本，有多少种不同的取法？ 分类标准的选择 (1)应抓住题目中的关键词、关键元素、关键位置．根据题目特点恰当选择一个分类标准． (2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复，但也不能有遗漏． 【对点精练1】 从甲地到乙地有3条公路可走，从乙地到丙地有5条小路可走，又从甲地不经过乙地到丙地有3条水路可走． (1)从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法？ (2)从甲地到丙地共有多少种不同的走法？ 【对点精练2】 某校确定的优秀毕业生候选人中，一班有3人，二班有5人，三班有2人． (1)从三个班中评选出一名优秀毕业生，有多少种不同的选法？ (2)从三个班中各评选出一名优秀毕业生，有多少种不同的选法？ 题型二 分步乘法计数原理 【例题精析3】 某服装厂为学校设计了4种样式的上衣、3种样式的裤子．若取其中的一件上衣和一条裤子配成校服，则可以配出多少种不同样式的校服？ 【例题精析4】 4名学生分别报名参加学校的足球队、篮球队和棒球队，每人限报其中的一支．问：有多少种不同的报名方法？ 【例题精析5】 判断正误（正确的写正确，错误的写错误） （1）从书架上任取数学书、语文书各1本是分类问题.( ) （2）分步乘法计数原理是指完成其中一步就完成了整件事情．( ) （3）分类加法计数原理可用来求完成一件事有若干类方法这类问题．( ) （4）从甲地经丙地到乙地是分步问题．( ) 利用分步乘法计数原理解题的策略 (1)明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的． (2)将这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成． 【对点精练3】 用1、2、3、4、5可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 【对点精练4】 一个三层的书架上共放有9本书，其中第一层放有4本不同的语文书，第二层放有3本不同的数学书，第三层放有2本不同的外语书．若从书架的第一、二、三层各取1本书，共有多少种不同的取法？ 题型三 两个计数原理的综合应用 ｛实际问题中的计数问题｝ 【例题精析6】 李芳有4件不同颜色的衬衣,3件不同花样的裙子,另有两套不同样式的连衣裙.“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出,则不同的选择方式有(　　) A．24种 B．10种 C．9种 D．14种 【例题精析7】 某植物园要在如图所示的5个区域种植果树，现有5种不同的果树供选择，要求相邻区域不能种同一种果树，则共有（    ）种不同的方法.    A．120 B．360 C．420 D．480 【例题精析8】 现有甲、乙等5名医务人员参加某小区社区志愿服务活动，他们被分派到核酸检验和扫码两个小组，且这两个组都至少需要2名医务人员，则甲、乙两名医务人员不在同一组的分配方案有（ ） A．8种 B．10种 C．12种 D．14种 ｛代数中的计数问题｝ 【例题精析9】 世界数学三大猜想：“费马猜想”、“四色猜想”、“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“费马猜想