精品解析：黑龙江省哈尔滨市哈尔滨工业大学附属中学校2023-2024学年高三上学期9月月考数学试题

哈工大附中2023-2024学年度第一学期九月月考试题 高三数学 时间：120分钟 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在等差数列中，其前项和为，若是方程的两个根，那么的值为（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“”是“复数为纯虚数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 江南的周庄、同里、用直、西塘、乌镇、南浔古镇，并称为“江南六大古镇”，是中国江南水乡风貌最具代表的城镇，它们以其深邃的历史文化底蕴、清丽婉约的水乡古镇风貌、古朴的吴侬软语民俗风情，在世界上独树一帜，驰名中外，这六大古镇中，其中在苏州境内的有3处．某家庭计划今年暑假从这6个古镇中挑选2个去旅游，则至少选一个苏州古镇的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 新冠肺炎疫情发生以来，中医药全面参与疫情防控救治，做出了重要贡献.某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下表： 研发投入（亿元） 1 2 3 4 5 产品收益（亿元） 3 7 9 10 11 用最小二乘法求得关于的经验回归直线方程是，相关系数（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高），下列说法不正确的有（ ） A. 变量与正相关且相关性较强 B. C. 当时，的估计值为40.3 D. 相应于点的残差为0.8 6. 已知等差数列的前n项和为有最小值，且，则使成立的正整数n的最小值为（ ） A. 9 B. 10 C. 17 D. 18 7. 已知平面向量的夹角为，且，则与的夹角是（ ） A. B. C. D. 8. 符号表示不超过实数的最大整数，如，.已知数列满足，，.若，为数列的前项和，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（选对5分，漏选2分，错选0分，共20分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 两个变量的线性相关性越强，则变量的线性相关系数越大 B. 随机变量，则 C. 抛掷两枚质地均匀的硬币，在有一枚正面朝上的条件下，另外一枚也正面朝上的概率为 D. 设随机变量，则 10. 已知函数，则过点且与曲线相切的直线方程可以为（ ） A. B. C. D. 11. 甲箱中有4个红球、4个黄球，乙箱中有6个红球、2个黄球（这16个球除颜色外，大小、形状完全相同），先从甲箱中随机取出1个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“在甲箱中取出的球是红球”为事件，“在甲箱中取出的球是黄球”为事件，“从乙箱中取出的球是黄球”为事件B．则下列说法正确的是（ ） A. 与是互斥事件 B. C D. 与B相互独立 12. 某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则（ ） A. 该圆台轴截面面积 B. 该圆台的体积为 C. 该圆台的外接球体积为 D. 沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为5cm 三、填空题（每题5分，共20分） 13. 已知的展开式中二项式系数和是64，则展开式中x的系数为______． 14. 等比数列的前项和，则的值为__________. 15. 请写出一条同时满足下列两个条件直线方程：______. ①过抛物线的焦点； ②与圆相交所得的弦长为. 16. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（m为正整数），当时，______． 四、解答题（共计70分，其中17题10分.18-22题每题12分） 17. 在中，角，，所对的边分别为，，，，. （1）求的面积； （2）若，求的周长. 18. 某酱油厂对新品种酱油进行了定价，在各超市得到售价与销售量的数据如表： 单价x（元） 5 5.2 5.4 5.6 5.8 6 销量y（瓶） 9.0 8.4 8.3 8.0 7.5 6.8 （1）求售价与销售量的回归直线方程： （2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是4元/瓶，为使工厂获得最大利润（利润＝销售收入－成本），该产品的单价应定为多少元？ 相关公式： （参考数据，） 19. 如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，平面平面，，，， （1）证明：； （2）求与平面所成的角的正弦值． 20