湖北省武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题

武汉外国语学校2023-2024学年高二上学期数学9月考试题（三）

一、单选题（每题5分，共40分）

1．已知复数是纯虚数，则实数（    ）

A． B． C．0 D．1

2．有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（    ）.

A．至多有1次中靶    B．2次都中靶    C．2次都不中靶   D．只有1次中靶

3．某中学举行了一次“网络信息安全”知识竞赛，将参赛的100名学生成绩分为6组，绘制了如图所示的频率分布直方图，则成绩在区间内的学生有（    ）

A．15名 B．20名 C．25名 D．40名

4．若m，n是互不相同的直线，是不重合的平面，则下列说法不正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

5．已知样本数据，，…，的平均数和方差分别为3和56，若，则，，…，的平均数和方差分别是（    ）

A．12，115 B．12，224 C．9，115 D．9，224

6．如图，正方体中，点，，分别是，的中点，过点，，的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为，则（    ）

A． B． C． D．

 

 

7．已知正方体的棱长为为棱上的靠近点的三等分点，点在侧面上运动，当平面与平面和平面所成的角相等时，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

 

8．如图所示，是边长为3正三角形，，S是空间内一点，分别是，的二面角，满足，点D到直线SB的距离是1，则（    ）  

A． B． C． D．

二、多选题(每题5分，共20分)

9．在中，内角所对的边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ）

A． B． C． D．

10．下列四个命题中，假命题有（    ）

A．对立事件一定是互斥事件

B．若为两个事件，则

C．若事件彼此互斥，则

D．若事件满足，则是对立事件

11．如图，正方体的棱长为，，，分别为，，的中点，则（    ）

A．直线与直线垂直

B．直线与平面平行

C．平面截正方体所得的截面面积为

D．点与点B到平面的距离相等

12．单位向量，，的两两夹角为，若实数，，满足，则下列结论中正确的是（    ）

A．的最大值是 B．的最大值是

C．的最大值是 D．的最大值是

三、填空题（每题5分，共20分）

13．2023年是全面贯彻党的二十大精神的开局之年，某中学为了解教师学习“党的二十大精神”的情况，采用比例分配分层随机抽样的方法从高一、高二、高三的教师中抽取一个容量为30的样本，已知高一年级有教师80人，高二年级有教师72人，高三年级有教师88人，则高一年级应抽取      人.

14．在平行六面体中，°，则=           ．

15．设的内角所对的边分别为，已知，点在边上，，且

，则的面积为           ．

 

16．如图，正四棱锥P-ABCD的底面边长和高均为2，M是侧棱PC的中点.若过AM作该正四棱锥的截面，分别交棱PB､PD于点E､F（可与端点重合），则四棱锥P-AEMF的体积的取值范围是           .

四、解答题（共70分）

17．已知三条直线，，．

(1)若，且过点，求、的值；

(2)若，求、的值．

 

 

 

 

18．（1）写出点到直线的距离公式并证明.

（2）证明：点到直线的距离恒小于．

 

 

 

 

19．某足球俱乐部举办新一届足球赛,按比赛规则,进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负,则需进行点球大战.点球大战规则如下:第一阶段,双方各派5名球员轮流罚球,双方各罚一球为一轮,球员每罚进一球则为本方获得1分,未罚进不得分,当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候,比赛即宣告结束,剩下的球员无需出场罚球.若5名球员全部罚球后双方得分一样,则进入第二阶段,双方每轮各派一名球员罚球,直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面,则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进入点球大战,由甲队球员先罚球,甲队每位球员罚进点球的概率均为,乙队每位球员罚进点球的概率均为.假设每轮罚球中,两队进球与否互不影响,各轮结果也互不影响.

(1)求每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的概率;

(2)若在点球大战的第一阶段,甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分,甲队暂时以2:0领先,求甲队第5个球员需出场罚球的概率.

 

 

 

20．如图，四棱锥中，平面，梯形满足，，且，，为中点，，.

(1)求证：，，，四点共面；

(2)求二面角的正弦值.

 

 

21．如图，在多面体中，四边形为正方形，平面，，，是线段上的一动点，过点和直线的平面与，分别交于，两点.

(1)若为的中点，请在图中作出线段，并说明，的位置及作法理由；

(2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.

 

 

22．某校兴趣小组在如图所示的矩形区域内举行机器人拦截挑战赛，在处按方向释放机器人甲，同时在处按方向释放机器人乙，设机器人乙在处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动．若点在矩形区域内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．已知米，为中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记与的夹角为（），与的夹角为（）．

（1）若两机器人运动方向的夹角为，足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值；

（2）已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的倍．

（i）若，足够长，机器人乙挑战成功，求．

（ii）如何设计矩形区域的宽的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙挑战成功？

参考答案：

1．B

【分析】由纯虚数的定义得出实数.

【详解】，因为复数是纯虚数，所以，且，解得.

故选：B

2．C

【分析】根据对立事件的概念可得结果.

【详解】根据对立事件的概念，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是“2次都不中靶”.

故选：C.

3．B

【分析】先根据频率分布直方图的性质，求得的值，再根据样本中成绩在区间内的频率×参赛的100名学生即可求解．

【详解】由频率分布直方图可知，得，

所以成绩在区间内的学生有名．

故选：B．

4．D

【分析】由线面的位置关系以及面面平行的判定定理以及面面垂直的关系逐一判断选项即可.

【详解】对于A：由线面平行的性质可知，故A正确；

对于B：垂直于同一个平面的两条直线平行，故B正确；

对于C：平面内两条相交直线分别和另一个平面平行，则两个平面平行，故C正确；

对于D：，则或或或与相交，故D错误；

故选：D

5．D

【分析】根据平均数和方差的性质求解：若数据，，…，的平均数和方差分别为和，则数据，，…，的平均数和方差分别为和.