第1章空间向量与立体几何 小结 第2课时 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册.

第一章 空间向量与立体几何 小结 第2课时 易错问题及难点突破 阅读教材P45----46 1.明确本章知识结构 2.掌握每个知识点的典型类型的通性通法 3.归纳总结每类问题的方法及易错点 （1）重点知识再现 （2）基本方法重温 （3）知识技能过手 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。 （化为向量问题） （进行向量运算） （回到图形） 复习引入 基本方法重温 基本方法：空间角的向量求法 设直线a与b的方向向量分别为，，平面α与平面β的法向量分别为， 求法：先求两向量夹角余弦值→设空间角为θ→下结论(取绝对值或定正负) 向量法解立体几何的基本步骤 找、证、作出空间直角坐标系 计算关键点的坐标（直接求坐标、相等向量转化，定比分点公式） 计算直线的方向向量 计算平面的法向量 利用向量法证明位置关系（结合判断定理） 正确用公式计算角和距离（注意符号、范围、正余弦要分清！） 存在性问题解的取舍 基本方法 例1：如图,在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，M,N分别为BC,AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值. 分析：求直线AM和CN夹角的余弦值，可以转化为求向量MA与CN夹角的余弦值.为此需要把向量MA,CN用适当的基底表示出来，进而求得向量MA,CN夹角的余弦值。 向量基底法 难点突破1：向量法 例2：如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形， 平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上， （Ⅰ）求证：M为PB的中点； （Ⅱ）求二面角B-PD-A的大小； （Ⅲ）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 难点突破2：需先证明，再建系 例3（教材P49T16）棱长为a的正方体OABC-OʹAʹBʹCʹ中，E, F分别是棱AB, BC上的动点，且AE=BF. (1)求证：AʹF⊥CʹE； (2)当三棱锥Bʹ-BEF的体积取得最大值时，求平面BʹEF与平面BEF的夹角正切值. ∴AʹF⊥CʹE 难点突破3：知识交汇问题 例3（教材P49T16）棱长为a的正方体OABC-OʹAʹBʹCʹ中，E, F分别是棱AB, BC上的动点，且AE=BF. (2)当三棱锥Bʹ-BEF的体积取得最大值时，求平面BʹEF与平面BEF的夹角正切值. 如果用向量法，则可省去找角的步骤---这也是大家最薄弱的步骤 难点突破4：已知二面角的大小求参数 备选例题 课后作业 P49复习参考题1T11-17 ⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标 ⑶根据法向量的定义建立关于 的方程组 ⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量. 问题:如何求平面的法向量? ⑴设平面的法向量为 【例4】在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,AB=3, AD=2 ,∠ABC=45°,P点在底面ABCD内的射影E在线段AB上, 且PE=2,BE=2EA,F为AD的中点,M在线段CD上,且CM=λCD. (1)当λ= 时,证明:平面PFM⊥平面PAB; (1)证明:连接EC,作AN∥EC交CD于点N,则四边形AECN为平行四边形, CN=AE=1,在△BCE中,BE=2,BC=2 , ∠ABC=45°,由余弦定理得EC=2. 所以BE2+EC2=BC2,从而有BE⊥EC. 在△AND中,F,M分别是AD,DN的中点, 则FM∥AN,FM∥EC,因为AB⊥EC,所以FM⊥AB. 由PE⊥平面ABCD,FM⊂平面ABCD, 得PE⊥FM,又FM⊥AB,PE∩AB=E, 得FM⊥平面PAB,又FM⊂平面PFM, 所以平面PFM⊥平面PAB. 设平面PAM的法向量为n=(x,y,z), 由 ·n=0, ·n=0,得 QUOTE 令x=2,得n=(2,3λ-1,-1). 由题意可得,|cos<m,n>|= = = ,解得λ= , 所以四棱锥P-ABCM的体积VP-ABCM = S梯形ABCM·PE= . (2)解:以E为坐标原点,EB,EC,EP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(-1,0,0),P(0,0,2),C(0,2,0),D(-3,2,0), =(1,0,2), = +λ =(1-3λ,2,0). 平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1). (2)当平面PAM与平面ABCD所成的二面角的正弦值为 QUOTE 时,求四棱锥P-ABCM的体积. (1)证明:因为长方形ABCD中,AB=2AD=2 ,M为DC的中点, 所以AM=BM=