高二数学上学期期中模拟卷01（人教A版，范围：选择性必修第一册第一章～第三章，举一反三）

2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷01 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）已知向量，，且，则（    ） A． B．2 C．4 D．6 【答案】A 【解题思路】根据向量垂直的坐标运算可求得的值. 【解答过程】由， 因为，， 所以由. 故选：A. 2．（5分）已知直线，直线，若，则实数的值为（   ） A．2 B． C．1 D．1或 【答案】B 【解题思路】根据两直线平行得到，解出值后再验证即可. 【解答过程】若，则，即，解得或， 当时，直线：与：，符合题意； 当时，直线：与：，两直线重合，不合题意. 综上， . 故选：B. 3．（5分）若点在抛物线上，点的纵坐标为1，则点到抛物线的准线的距离为（   ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【解题思路】根据抛物线写出准线方程，结合抛物线的性质确定点到抛物线的准线的距离. 【解答过程】由题设，而抛物线的准线为，所以点到抛物线的准线的距离为. 故选：C. 4．（5分）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥中，平面，且，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，利用空间向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解. 【解答过程】在四棱锥中，平面，且，若， 则 . 故选：A. 5．（5分）已知直线经过点，且在轴和轴上的截距相等，则直线的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解题思路】当直线经过原点时，直线方程为；当直线不经过原点时，设直线方程为，把点的坐标代入即可得出． 【解答过程】由题得当直线在坐标轴上的截距均为0时，直线方程为，即； 当直线在坐标轴上的截距均不为0时，直线方程可设为， 将代入可得，此时直线方程为． 综上，直线的方程为或． 故选：C. 6．（5分）设分别是椭圆C：的左、右焦点，圆与椭圆C在第一象限内的交点为，延长与椭圆C交于点，若，则椭圆的离心率为（） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由圆过点知，设，根据椭圆定义得，；在直角三角形中应用勾股定理可解得与的关系，再在直角三角形中利用勾股定理建立与的方程，从而求出离心率. 【解答过程】如图，连接， 线段是圆O的直径，所以， 设，所以， 在直角三角形中，，整理得， 在直角三角形中，， ，得，即． 故选：A. 7．（5分）直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】作出曲线与直线的图象，由题意根据图象计算可解. 【解答过程】由，平方得表示圆心在原点半径为1的上半圆， 表示恒过定点的直线， 直线与曲线有两个不同的交点即半圆和直线始终有两个公共点， 如图： 圆心到直线的距离为，解得， 当直线经过时由得， 当直线经过时由得， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 8．（5分）在正三棱柱中，，P为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】如图，过点作平面的垂线为轴，以，为轴和轴，作空间直角坐标系.求平面的一个法向量，以及直线的方向向量，则即为所求. 【解答过程】如图，过点作平面的垂线为轴，以，为轴和轴，作空间直角坐标系. 则平面的一个法向量为， 设正三棱柱中，，则，， 所以，所以, 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）已知是空间的一个基底，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．向量、、一定共面 C．向量在基底下的坐标是 D．对空间中任意向量，都存在唯一的有序实数组，使得 【答案】ACD 【解题思路】利用空间向量基底的概念逐项判断即可. 【解答过程】对于A，因为是空间的一个基底，若， 假设、、不全为零，不妨设，则， 所以、、共面，矛盾，故，同理可得，，即，A对； 对于B，假设、、共面， 则存在、，使得， 即， 根据A可知，该方程组无解，假设不成立， 故向量、、不共面，B错； 对于C，向量在基底下的坐标是，C对； 对于D，由B可知，向量、、一定不共面， 则可作为空间向量的一组基底， 故空间中任意向量，都存在唯一的有序实数组， 使得，D对. 故选：ACD. 10．（6分）已知直线与圆相交于，两点，则（   ） A．的斜截式为 B．圆的半径为 C．圆心在直线上 D．圆心到的距离为 【答案】BD 【解题思路】根据直线一般方程与斜截式方程的转换可判断A；根据圆的方程确定半径即可判断B；根据点与直线的位置关系即可判断C；利用点到直线的距离求解即可判断D. 【解答过程】直线的斜截式为，故A不正确； 圆的半径为，故B正确； 圆心，该点横纵坐标不满足直线的方程，则圆心不在直线上，故C不正确； 点到直线的距离为，故D正确. 故选：BD. 11．（6分）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，则下列说法正确的是（   ） A．焦点到抛物线的准线的距离为4 B． C．若的中点的纵坐标为4，则 D．若，则 【答案】ABD 【解题思路】对A，由抛物线方程求得焦点坐标和准线方程可求解判断；对BCD，设直线，设，则联立直线与抛物线，利用韦达定理求解判断. 【解答过程】对于A：抛物线的焦点，准线方程为：， 所以焦点到准线的距离为，A正确； 对于B：设直线，设， 则由得， 所以， 又由抛物线定义可得， 所以，B正确； 对于C：若的中点的纵坐标为，则，得， 所以，，C错误； 对于D：若，则，又， 所以，整理得，又， 所以，即，因为，所以， 所以，解得， 所以，D正确； 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）点到直线的距离为__________． 【答案】 【解题思路】利用点到直线距离公式直接求解即可. 【解答过程】点到直线的距离. 故答案为：. 13．（5分）中心为原点，焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为2:1，焦距为的椭圆方程为__________. 【答案】 【解题思路】根据条件，列出等式，求出a，b，c的值，即可得答案. 【解答过程】设椭圆的长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c， 由题意得，解得， 所以椭圆方程为. 故答案为：. 14．（5分）如图，在四棱锥中，平面，，，，，则点D到直线的距离为__________.    【答案】 【解题思路】建立空间直角坐标系，得到向量，再利用向量投影公式求在上投影向量的模，最后结合勾股定理即可求出. 【解答过程】由题意得，以B为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，    则，, ，，， ， 设点D到直线的距离为，则， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）已知向量，，. (1)若，求的值； (2)若，求、的值. 【答案】(1) (2)， 【解题思路】（1）根据空间向量的坐标运算法则及垂直时的坐标关系进行运算即可； （2）根据空间向量的坐标运算法则及平行时的坐标关系进行运算即可. 【解答过程】（1）因为，，，所以， 因为，所以，解得. （2）因为，，，所以， 因为，设，则，解得. 16．（15分）已知直线l经过点；（直线要求化成一般式） (1)若直线的斜率为，求直线l的方程； (2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】(1)利用点斜式写出直线方程，再化为直线的一般方程； (2)分类讨论截距为和不为两种情况，分别求出满足条件的直线的方程. 【解答过程】（1）因为直线的斜率为，经过点， 所以直线方程为，即. （2）当在两坐标轴上的截距均为0时，设直线方程为 因为直线过点，所以，即， 此时方程为，即； 当在两坐标轴上的截距不为0时，可设方程为， 则，得， 故此时方程为； 综上可知，直线的方程为或. 17．（15分）已知椭圆，且焦点在轴上，离心率. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若，求直线的方程及弦长. 【答案】(1). (2)直线的方程为，弦长. 【解题思路】（1）由题意根据椭圆离心率求得，进而计算可求椭圆的方程； （2）由题意结合弦长公式、点到直线的距离公式可得三角形面积，进而建立等式计算求解即可. 【解答过程】（1）已知椭圆焦点在轴上，故，即. 由离心率，得，， 因此椭圆方程为； （2）设过的直线方程为，设，. 联立直线与椭圆方程得：， 消去整理得， 由判别式 ，得. 由韦达定理得，. 原点到直线的距离， 弦长. 三角形面积， 令，，则 ， 代入化简可得，整理得 ， 解得，即，得，即，满足， 当，即时，直线的方程为，. 当直线斜率不存在时，直线过，此时三点共线，不符合题意，舍去. 18．（17分）如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【解题思路】（1）设的中点为，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再结合线面平行的判定定理可证得结论成立. （2）记的中点为，连接，推导出，然后以为原点，以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值. （3）设，利用空间向量法可求出的值，再利用空间向量法可求出点到平面的距离． 【解答过程】（1）证明：设的中点为，连接、，因为为的中点，所以，且， 又，且，所以，且， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面， 所以平面． （2） 记的中点为，连接，因为，，， 所以四边形是矩形，则，， 以为原点，以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，如图， 则、、、，则，，， 设平面的一个法向量为，所以 ， 令，则， 设平面的一个法向量为，所以 ， 令，则， 所以， 由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为． （3） 依题意，设，则， 又由（2）得平面的一个法向量为， 记直线与平面所成角为， 所以，解得（负值舍去）， 所以，则， 而由（2）得平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为． 19．（17分）已知双曲线的离心率为，左焦点为，右焦点为，点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)过点作斜率为（）的直线与双曲线交于两点，记与的面积分别为与，求的取值范围； (3)设为线段的中点，在轴上是否存在定点，使得恒为定值？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，. 【解题思路】（1）根据离心率公式、已知条件及的关系求解即可； （2）将直线方程与双曲线方程联立，由韦达定理及三角形的形公式可得，，从而可得，由，可得，即，解此不等式组，即可得答案； （3）设存在满足条件的点，其坐标为，由中点坐标公式得，从而得，由，求解即可. 【解答过程】（1）因为双曲线的离心率为， 所以，， 所以， 又因为点在双曲线上， 所以，解得，所以， 所以求双曲线的方程为； （2）由题意可得， 所以直线的方程为， 由，得， ， 设， 则， 由此可得， 因为， 所以， 令，则， 所以， 消去，得， 因为，所以，， 所以， 即，解得， 即的取值范围为； （3）因为， 即， 所以， 又因为为线段的中点，所以， 设存在满足条件的点，其坐标为， 则， 所以， 要使此值为定值，则，解得， 所以存在，使得恒为定值4. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷01 【人教A版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第三章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）已知向量，，且，则（    ） A． B．2 C．4 D．6 2．（5分）已知直线，直线，若，则实数的值为（   ） A．2 B． C．1 D．1或 3．（5分）若点在抛物线上，点的纵坐标为1，则点到抛物线的准线的距离为（   ） A．4 B．3 C．2 D． 4．（5分）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥中，平面，且，若，则（    ）    A． B． C． D． 5．（5分）已知直线经过点，且在轴和轴上的截距相等，则直线的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 6．（5分）设分别是椭圆C：的左、右焦点，圆与椭圆C在第一象限内的交点为，延长与椭圆C交于点，若，则椭圆的离心率为（） A． B． C． D． 7．（5分）直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．（5分）在正三棱柱中，，P为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）已知是空间的一个基底，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．向量、、一定共面 C．向量在基底下的坐标是 D．对空间中任意向量，都存在唯一的有序实数组，使得 10．（6分）已知直线与圆相交于，两点，则（   ） A．的斜截式为 B．圆的半径为 C．圆心在直线上 D．圆心到的距离为 11．（6分）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，则下列说法正确的是（   ） A．焦点到抛物线的准线的距离为4 B． C．若的中点的纵坐标为4，则 D．若，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）点到直线的距离为__________． 13．（5分）中心为原点，焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为2:1，焦距为的椭圆方程为__________. 14．（5分）如图，在四棱锥中，平面，，，，，则点D到直线的距离为__________.    四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）已知向量，，. (1)若，求的值； (2)若，求、的值. 16．（15分）已知直线l经过点；（直线要求化成一般式） (1)若直线的斜率为，求直线l的方程； (2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程. 17．（15分）已知椭圆，且焦点在轴上，离心率. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若，求直线的方程及弦长. 18．（17分）如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离． 19．（17分）已知双曲线的离心率为，左焦点为，右焦点为，点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)过点作斜率为（）的直线与双曲线交于两点，记与的面积分别为与，求的取值范围； (3)设为线段的中点，在轴上是否存在定点，使得恒为定值？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $